Continuité des racines d'un polynôme
Salut à tous
En me baladant sur internet, j'ai lu ceci sur un forum.
En me baladant sur internet, j'ai lu ceci sur un forum.
Je pense qu'il veut dire qu'il suffit de montrer que les racines d'un polynôme sont holomorphes. Je suis très intéressé, avez-vous un lien pour en savoir plus s'il vous plaît !Question. Je suis certainement un peu fatigué mais comment montrer de manière optimale la continuité des racines (complexes) par rapport à un polynôme non nul ?
Réponse. Avec des outils hors programme (fonctions holomorphes) il y a une belle démo.
Voir un article de Nicolas Tosel dans la RMS 120-4.
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Réponses
Si tu veux une vraie application de la continuité des racines : il existe $n$ fonction continues $\lambda_1\leq \lambda_2\leq ... \leq \lambda_n$ de l'ensemble $S_n$ des matrices symétriques réelles de taille $n$ dans $\mathbb R$ telles que pour tout $M\in S_n$, $\lambda_1(M),\ldots,\lambda_n(M)$ sont les valeirs propres de $M$ (comptées avec multiplicités).
Une démonstration de la continuité des racines (elle est chez Bourbaki, je crois). On considère l'application $(P^1(\mathbb C))^n\to P^n(\mathbb C)$ donnée par
$$ ((a_i:b_i))_{i=1,\ldots,n} \longmapsto \prod_{i=1}^n (a_iX-b_iY)\;,$$
en identifiant l'ensemble des polynômes non nuls homogènes de degré $n$ en $X,Y$, à un facteur scalaire près, à $P^n(\mathbb C)$
Cette application est continue et induit une bijection continue en passant au quotient par l'action du groupe symétrique : $(P^1(\mathbb C))^n/\mathfrak{S}_n\to P^n(\mathbb C)$. Comme c'est une bijection continue entre espaces compacts, c'est un homéomorphisme.
Cet homéomorphisme se restreint en un homéomorphisme de $\mathbb C^n/\mathfrak{S}_n$ sur l'espace des polynômes unitaires de degré $n$ en une variable.
Je ne connaissais pas la démo de Bourbaki.
Rouché fonctionne très bien, le TFI aussi dans le cas des racines simples.
Voici un argument très élémentaire qui devrait fonctionner, enfin qui en tout cas établit un énoncé "proche" : si une suite $(P_n)_n$ converge vers un polynôme $P$, il y a convergence des coefficients de $P_n$ vers ceux de $P$ qui sont donc tous bornés par une constante absolue $M$. Maintenant, si l'on prend une suite $(\lambda_n)_n$ t.q. $P_n(\lambda_n)=0$, les coefficients de $P_n$ étant uniformément bornés, il en est de même de ses racines, de sorte que la suite $(\lambda_n)_n$ est bornée. Par extraction, elle a donc une limite $\lambda$, et en passant à la limite dans $P_n(\lambda_n)=0$ (sur la suite extraite bien sûr) on obtient $P(\lambda)=0$. Ainsi toutes les suites de racines ont des valeurs d'adhérence, qui ne peuvent être que des racines de $P$.
Avec le théorème des résidus on a aussi un démonstration simple. Soit $(P_t)_{t\in \R}$ une famille de polynômes de degré $n$, continue en $t$ et soit $\lambda$ une racine de $P_0$ de multiplicité $k$. Pour tout $r>0$ assez petit on sait que $P_0$ n'a pas d'autres racines dans $\overline D(\lambda,r)$, d'après le théorème des résidus on a donc
\[\frac{1}{2i\pi}\int_{\partial D(\lambda,r) } \frac{P'_0(z)}{P_0(z)} dz = k \]
Puisque $P_0$ ne s'annule pas sur le compact $\partial D(\lambda,r)$ et que c'est une fonction continue il existe un réel $\varepsilon >0 $ tel que $|P_0|$ soit supérieur à $\varepsilon$ sur $\partial D(\lambda,r)$. Par conséquent l'application
\[
t\mapsto \frac{P'_t}{P_t}
\]
est continue sur $\partial D(\lambda,r)$ pour la norme $\| \cdot\|_\infty$ et donc bornée sur un voisinage de $0$. Par continuité sous l'intégrale la fonction
\[t\mapsto \frac{1}{2i\pi}\int_{\partial D(\lambda,r) } \frac{P'_t(z)}{P_t(z)} dz \]
est continue sur un voisinage de $0$, comme cette intégrale ne prend que des valeurs entières la fonction est constante sur un voisinage de $0$. Les racines de $P_t$ varient donc bien continûment par rapport à $t$.
Si $P_0$ ne s'annule pas sur le cercle alors $t\mapsto P'_t/P_t$ est continue en $0$ pour la norme infinie donc bornée au voisinage de ce point non?
Quelle topologie on met dessus ?
Merci
t\mapsto \left\| \frac{P'_t}{P_t}\right\|_{L^\infty(\partial D(\lambda,r))}
\]
est effectivement continue au voisinage de $0$, mais ce n'est pas complètement évident. La compacité de $\partial D(\lambda,r)$ permet d'en donner une démonstration. Par exemple la fonction $1/(1+t)^2$ est strictement positive sur $\R$ mais $1/f$ n'y est pas bornée.
Je ne comprends pas ton argument avec la compacité, autrement je ne comprends pas pourquoi $|P_0|$ supérieur à $\varepsilon$ implique la continuité de $t\mapsto \left\| \frac{P'_t}{P_t}\right\|_{L^\infty(\partial D(\lambda,r))}$.
Peux-tu détailler ?
Je reviens sur le contre-exemple-qui-n'en-est-pas-un de side, parce qu'il permet de bien voir le rôle de l'homogénéisation qui permet de récupérer l'argument magique de compacité.
Je me permets de le modifier un tout petit peu, et j'homogénéise :
$$P_{\epsilon}=\epsilon X^2+ (1+\epsilon)XY+ Y^2=(\epsilon X+Y)(X+Y)\;.$$Quand $\epsilon\to 0$, on se retrouve avec $P=Y(X+Y)$.
Du côté des zéros projectifs, on a les zéros $(-1:\epsilon)$ et $(-1:1)$ pour $P_{\epsilon}$ et les zéros $(-1:0)$ et $(-1:1)$ pour $P$. Aucun problème pour la continuité des zéros. Mais quand on déshomogénéise, un des zéros ($-1/\epsilon$) part à l'infini, et ça correspond à la chute de degré à la limite. Grâce à l'homogénéisation et au travail dans le projectif, on évite ce phénomène.
(*) pour quelle topologie sur $Div^0(P^1(\Bbb{C}))$
On a l'isomorphisme entre les fonctions rationnelles non-nulles et leurs diviseur de zéros/pôles plus leur valeur en un point, isomorphisme continu pour les bonnes topologies.
Soient $(P_n)$ une suite de polynômes unitaires complexes de même degré $d\in\mathbb{N}^\ast$ convergeant vers un polynôme $P$. On fixe une racine $z\in\mathbb{C}$ de $P$, et on note $z_n\in\mathbb{C}$ la racine la plus proche de $z$ pour tout $n\in\mathbb{N}$. Par définition de $z_n$, on a
$$\forall n\in\mathbb{N},\quad |z-z_n|^d\leq P(z_n).$$
On en déduit que la suite $(z_n)$ converge vers $z$. On en déduit le résultat global par récurrence sur $d$.
On note $Q_n$ le quotient de $P_n$ par $X-z_n$ pour tout $n\in\mathbb{N}$ et $Q$ le quotient de $P$ par $X-z$. La suite $(Q_n)$ converge vers $Q$, car les coefficients de $Q_n$ sont des polynômes en les coefficients de $P_n$ et de $z_n$ (on le remarque simplement en posant la division euclidienne). En particulier, on peut itérer le raisonnement précédent avec $Q_n$ et $Q$.
Soit $P,Q$ des polynômes unitaires et de même degré $d$ à coefficients dans $\C$. Soient $a_1,...,a_d$ les racines de $P$ comptées avec multiplicité. Soit $b$ une racine de $Q$.
Alors $$\left (\min_{1\leq k \leq d} \abs{b-a_k} \right) ^ d \leq \prod_{k=1}^d \abs{b-a_k }= \abs{P(b)}= \abs{P(b)-Q(b)} \tag{*}$$
D'autre part, si $F=: \sum_{k=0}^{r-1} f_k X^k +X^r$ est un polynôme unitaire de degré $r$ et si $z\in \C$ est une racine de $F$ de module supérieur à $1$, alors $\abs z ^r = \abs{\sum_{k=0}^{r-1} f_k z^k}$ et donc en divisant par $z^{r-1}$, on voit que $$\abs z = \abs{\sum_{k=0}^{r-1} \frac{f_k}{z^{r-1-k}}} \leq \sum_{k=0}^{r-1} \abs{f_k} \tag{**}$$
Soit donc $M>0$ un réel, $d\in \N$, et $P,Q$ deux polynômes dont tous les coefficients sont inférieurs en valeur absolue à $M$. $(**)$ entraîne que toutes les racines de $P,Q$ sont dans le disque de centre $0$ et rayon $\max(1,dM)$. Compte tenu de $(*)$, si on note $a_1,...,a_d$ (resp $b_1,...,b_d$) les racines (éventuellement multiples) de $P$ (resp $Q$), on voit que pour tout $j\in \{1,...,d\}$, $$\min_{1\leq k \leq d} \abs{a_j - b_k} \leq \abs {Q(a_j) - P(a_j)}^{\frac{1}{d}}\leq \left (\sup_{|z| \leq \max(1,dM)} \abs{Q(z)-P(z)} \right)^{\frac{1}{d}}$$
et de même $$\min_{1\leq k \leq d} \abs{b_j - a_k} \leq \abs {P(b_j) - Q(b_j)}^{\frac{1}{d}}\leq \left (\sup_{|z| \leq \max(1,dM)} \abs{P(z)-Q(z)} \right)^{\frac{1}{d}}$$
On voit donc que ($d$ étant fixé) l'application qui à un polynôme unitaire de degré $d$ fait correspondre l'ensemble de ses racines, est localement uniformément continue lorsqu'on munit l'ensemble des parties finies de $\C$ de la distance de Hausdorff.
Le résultat se généralise aux corps algébriquement clos et valués quelconques.
Veux-tu détailler ce message http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?14,1164805,1164827#msg-1164827 qui se rapporte à un même thème
La "bonne" distance sur le multi-ensemble des racines est celle que l'on trouve fréquemment dans les ouvrages : la distance entre $\{x_1,\ldots,x_n\}$ et $\{y_1,\ldots,y_n\}$ (où il peut y avoir des répétitions dans les $x_i$ ou dans les $y_i$) est le minimum de $\max|x_i-y_{\sigma(i)}|$ où $\sigma$ décrit l'ensemble des permutations de $\{1,\ldots,n\}$.
Par exemple, pour cette distance, $\{1.01, 10.02, 9.99\}$ est loin de $\{1,1,10\}$, alors que la distance de Hausdorff écrase tout.
GaBuZoMeu: avec cette distance l'application n'est plus (localement uniformément) continue, non ?
Au fait, comment une application continue d'un espace métrique localement compact dans un autre ferait-elle pour ne pas être localement uniformément continue ?
Ah ! Tu es trop rapide.
Je reviens sur le sujet. J'avais lu en diagonal et n'avais pas réfléchi aux bonnes choses.
Déjà je suppose qu'on identifie polynômes et fonctions polynomiales.
Pour celle de Foys je comprends l'énoncé comme:
Soit $d\in \mathbb{N}$. Soit $E$ l'ensemble des polynômes complexes unitaires de degrés $d$ muni de la distance $d_E(f,g):=\max(\vert a_0-b_0\vert,\ldots,\vert a_n-b_n\vert).$ Soit $F$ l'ensemble des racines d'un polynôme muni de la distance de Hausdorff (ou celle donné par GaBuZoMeu).
Si on note $\Psi: P\mapsto \mbox{racines de P}$ alors $\Psi$ est uniformément localement continue.
Pour celle de Corto je ne comprends pas quel énoncé est prouvé.
On part d'une suite $(P_t)_{t\in\mathbb{R}}$ de polynômes continues en $t$ et la conclusion est: les racines varient continûment par rapport à $t.$ Je ne vois pas l'équivalence avec le résultat démontré par Foys par exemple.
De même quand on dit "$(P_t)_{t\in\mathbb{R}}$ de polynômes continues en $t$", l'espace d'arrivé c'est l'ensemble des fonctions de $\mathbb{C}\to \mathbb{C}$ ? Avec la topologie produit ?
Le résultat que je démontre est le suivant : Soit $\lambda $ une racine de $P$ de multiplicité $k$, pour tout réel $\varepsilon >0$ il existe un temps $\eta>0$ tel que pour tout $t\in ]-\eta;\eta[$ le polynôme $P_t$ possède exactement $k$ racines (comptées avec multiplicité) dans le disque $B(\lambda, \varepsilon)$.
Ce résultat est bien équivalent aux autres définitions de continuité des racines (enfin, pas celle avec la distance de Hausdorff mais GBZM à déjà expliqué où était l'erreur).
Soit $P = \sum_{k=0}^N a_x X^k$ un polynôme unitaire de degré $N$. On note $\alpha_1,\ldots,\alpha_N$ ses racines : $P = (X-\alpha_1) \cdots (X-\alpha_N)$. Alors pour tout $\varepsilon >0$, il existe $\delta > 0$ tel que pour tout polynôme $Q = \sum_{k=0}^N b_x X^k$ unitaire de degré $N$ satisfaisant $\vert a_k - b_k \vert < \delta$ pour tout $k$, on puisse écrire $Q = (X-\beta_1) \cdots (X-\beta_N)$ avec $\vert \alpha_k - \beta_k \vert < \varepsilon$ pour tout $k$.
[Activation du lien. :-) AD]
Prends par exemple la fonction
f_t(x)=x+t pour t réel non rationnel
f_t(x)=x-t pour t rationnel.
aura une racine dans tout intervalle [-a,a] pour t assez petit. Pourtant la solution de f_t=0 ne dépend pas continûment de $t$.
Est-ce que je t'ai mal lu? ou quelque chose m'échappe?
M.