Système différentiel

Soit $a,b\in \mathbb{R}_+^*$, on considère le système différentiel $$
\begin{cases}
x'& =-(b+1)x + x^2y+a \\
y'& = x-x^2y
\end{cases}
$$ avec $x(0)=x_0 $ et $ y(0)=y_0 .$
1- Justifier l'existence et l'unicité de la solution maximale définie sur $I$ avec $0$ dans l'intérieur de $I$.
2- On suppose de plus $x_0> 0$ et $ y_0>0 $ et on note $t_m=\sup I$.
Montrons que $x$ et $y$ restent strictement positives sur $ [0,t_m[$.
Je résous $x' =-(b+1)x + x^2y+a ,$
j'obtiens : $x(t)= x_0 e^{-(b+1)t}+ \frac{a}{b+1}(1-e^{-(b+1)t} ) + \int_0^t x^2(u)y(u) e^{-(b+1)(t-u)}du $ $$ x_0 e^{-(b+1)t} >0\quad\text{sans problème}.
$$ Mais quelle est le signe de $~ (1-e^{-(b+1)t} ) ~?$ Et de $y(u) ~ ?$