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Système différentiel

Envoyé par Shaima 
Système différentiel
le mois dernier
Soit $a,b\in \mathbb{R}_+^*$, on considère le système différentiel $$
\begin{cases}
x'& =-(b+1)x + x^2y+a \\
y'& = x-x^2y
\end{cases}
$$ avec $x(0)=x_0 $ et $ y(0)=y_0 .$
1- Justifier l'existence et l'unicité de la solution maximale définie sur $I$ avec $0$ dans l'intérieur de $I$.
2- On suppose de plus $x_0> 0$ et $ y_0>0 $ et on note $t_m=\sup I$.
Montrons que $x$ et $y$ restent strictement positives sur $ [0,t_m[$.
Je résous $x' =-(b+1)x + x^2y+a ,$
j'obtiens : $x(t)= x_0 e^{-(b+1)t}+ \frac{a}{b+1}(1-e^{-(b+1)t} ) + \int_0^t x^2(u)y(u) e^{-(b+1)(t-u)}du $ $$ x_0 e^{-(b+1)t} >0\quad\text{sans problème}.
$$ Mais quelle est le signe de $~ (1-e^{-(b+1)t} ) ~?$ Et de $y(u) ~ ?$



Edité 1 fois. La dernière correction date de le mois dernier et a été effectuée par AD.
Re: Système différentiel
le mois dernier
Bonjour.

Avec $b>0$, on trouve immédiatement que $1-e^{-(b+1)t} >0$ (propriétés de l'exponentielle).
Quant au signe de y(u) ... mystère.

Je ne comprends pas trop l'intérêt de ton calcul.

Cordialement.
Re: Système différentiel
le mois dernier
l'interêt de mon calcul est de déterminer $x(t)$ à partir de cette expression j'en déduis le signe de $x(t)$
de même pour $y(t)$. Sauf que pour $y(t)$ ça ne marche pas cette méthode. Avez-vous d'autre suggestion ?
Merci pour votre réponse.



Edité 1 fois. La dernière correction date de le mois dernier et a été effectuée par AD.
Re: Système différentiel
le mois dernier
Bonjour,

Il n'y a aucune équation à résoudre.
Supposez le contraire pour la fonction $x$, considérez (après avoir prouvé que ça a un sens) la plus petite valeur d'annulation de $x$ et aboutir à une contradiction. Puis une fois que vous avez prouvé que $x$ est strictement positive, supposez que $y$ s'annule et déroulez le même raisonnement.



Edité 1 fois. La dernière correction date de le mois dernier et a été effectuée par side.
Re: Système différentiel
le mois dernier
Bonjour,
Je n'ai pas bien saisi c'est que vous avez dit.
"Supposez le contraire pour la fonction x", c'est-à-dire $x(t) \leq 0$ ?
J
e suis perdu.
Désolé.



Edité 1 fois. La dernière correction date de le mois dernier et a été effectuée par AD.
Re: Système différentiel
le mois dernier
Le contraire de ''x est strictement positif'' n'est pas ''x est négative''!!!
Faites des dessins pour vous en convaincre.

$x$ est strictement positive au voisinage de $0$, et $E=x^{-1}(0)$ est un fermé non vide (si on suppose que $x$ s'annule). Alors $x$ est strictement positive sur $[0;t_0[,~ t_0=\inf E>0$ et $x(t_0)=0$, puis vous examinez ce qui se passe en $t_0$ pour aboutir à une contradiction.



Edité 1 fois. La dernière correction date de le mois dernier et a été effectuée par AD.
Re: Système différentiel
il y a sept semaines
Trop fort ça. Je n'ai jamais compris comme ça.
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