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Surjection continue, et autres

Envoyé par Boole et Bill 
Surjection continue, et autres
il y a deux mois
Bonjour à tous! J’espère que vous allez bien.
Je me remets aux maths après un peu de vacances et je me suis posé une question : existe-t-il une surjection continue de $\R$ sur $\R^2$? Je suis quasiment certain que non. En chemin, je me suis dit qu’il serait bien de commencer par trouver une surjection de $\R$ sur $\R^2$. Pour cela, je m’inspire de la surjection de $\N$ sur $\N^2$ bien connue (qui consiste à « remonter les diagonales »). Comme il est surement utile d’avoir une formule pour cette surjection, je la cherche : on commence par remarquer $n$ est envoyé sur $(n,0)$ lorsque cet entier fait partie de la suite définie par $u_0=0$ et $u_{k+1}=u_k+k$, c’est à dire lorsqu’il existe $m$ entier tel que $n=m(m+1)/2$ (cette suite est en fait la suite des sommes des $k$ premiers entiers). Ensuite, pour $n$ quelconque, on détermine le plus grand entier $m$ tel que $n\geq m(m+1)/2$. Alors, $n$ est envoyé sur \[\left (m-(n-\frac{m(m+1)}{2}),n-\frac{m(m+1)}{2} \right).\]
Avant de continuer, on cherche une formule pour déterminer $m$ en fonction de $n$. Si on regarde comment $m$ évolue, on tombe sur la suite $(0,1,1,3,3,3,6,6,6,6,...)$ constitué une fois $u_0$, deux fois $u_1$,...,$k+1$ fois $u_k$. C’est pour l’instant à ce point que je bloque, je ne parviens pas à exprimer $m$ en fonction de $n$. N’hésitez pas à m’indiquer d’autres méthodes.
Merci
Re: Surjection continue, et autres
il y a deux mois
Bonjour
Un argument de connexité appliqué à $\R$ privé d'un point doit permettre de répondre.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par AD.
Re: Surjection continue, et autres
il y a deux mois
Il y a des surjections continues de $[0, 1]$ dans $[0, 1]^2$ (courbes de Peano, de Hilbert, etc.), on en déduit sans trop de difficulté des surjections continues de $\mathbb R$ dans $\mathbb R^2$. L'argument de side ne s'applique pas, par contre il permet de voir qu'il n'y a pas de bijection continue de $\mathbb R^2$ dans $\mathbb R$ (et a fortiori pas d'homéomorphisme). De manière générale, il n'y a pas d'homéomorphisme entre $\mathbb R^n$ et $\mathbb R^m$ pour $n \neq m$ : théorème d'invariance du domaine.
Re: Surjection continue, et autres
il y a deux mois
Re: Surjection continue, et autres
il y a deux mois
Avec un camarade on s’est débrouillé et nous avons trouvé l’application suivante de $[0,1]^2$ dans $[0,1]$ : à un couple on associe le réel dont les décimales sont une fois sur deux les décimales du premier et les décimales du second. Ca ne répond pas tout à fait à la question car cela fournit une injection, mais on obtient la surjection en contournant le problème des réels du type $0,90909090...$ comme vous vous imaginez
Re: Surjection continue, et autres
il y a deux mois
avatar
@AD
Y a-t-il un moyen pour ce sauver ce lien qui donne une bijection continue de $\R \to \R^2$ [www.les-mathematiques.net]

[J'ai corrigé le lien situé dans le message que tu références. smiling smiley AD]

[Merci Cher AD smiling smiley]

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[Le meilleur moyen de fuir le monde est de pénétrer les mathématiques ]



Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par gebrane.
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