Surjection continue, et autres

Bonjour à tous! J’espère que vous allez bien.
Je me remets aux maths après un peu de vacances et je me suis posé une question : existe-t-il une surjection continue de $\R$ sur $\R^2$? Je suis quasiment certain que non. En chemin, je me suis dit qu’il serait bien de commencer par trouver une surjection de $\R$ sur $\R^2$. Pour cela, je m’inspire de la surjection de $\N$ sur $\N^2$ bien connue (qui consiste à « remonter les diagonales »). Comme il est surement utile d’avoir une formule pour cette surjection, je la cherche : on commence par remarquer $n$ est envoyé sur $(n,0)$ lorsque cet entier fait partie de la suite définie par $u_0=0$ et $u_{k+1}=u_k+k$, c’est à dire lorsqu’il existe $m$ entier tel que $n=m(m+1)/2$ (cette suite est en fait la suite des sommes des $k$ premiers entiers). Ensuite, pour $n$ quelconque, on détermine le plus grand entier $m$ tel que $n\geq m(m+1)/2$. Alors, $n$ est envoyé sur \[\left (m-(n-\frac{m(m+1)}{2}),n-\frac{m(m+1)}{2} \right).\]
Avant de continuer, on cherche une formule pour déterminer $m$ en fonction de $n$. Si on regarde comment $m$ évolue, on tombe sur la suite $(0,1,1,3,3,3,6,6,6,6,...)$ constitué une fois $u_0$, deux fois $u_1$,...,$k+1$ fois $u_k$. C’est pour l’instant à ce point que je bloque, je ne parviens pas à exprimer $m$ en fonction de $n$. N’hésitez pas à m’indiquer d’autres méthodes.
Merci