Toujours des parties entières

Gon
Gon
dans Analyse
Désolé , si je ne publie que des exercices sur les parties entières , c'est juste que je travaille sur une fiche qui est uniquement consacrée à cela...

Soient $n \in \mathbb{N^{*}}$ et $x \in \mathbb{R}$.
Posons $p=E(nx)$. on a $p\leq nx<p+1$ donc en divisant chaque membre de l'inégalité par $n$, on obtient $\frac{p}{n}\leq x$.
Ainsi $E(\frac{p}{n}) \leq E(x)$.
De plus, $E(x)\leq x$ donc $nE(x)\leq nx$, on obtient $nE(x)\leq E(nx)$ et en divisant de part et d'autre de l'inégalité par n, on trouve que :
$E(x)\leq \frac{p}{n}$, de ce qui précède on a : $E(x)\leq E(\frac{p}{n})$. D'où l'égalité qu'on cherche.

Mais j'aimerais une autre méthode svp.89384

Réponses

  • Chaurien
    Chaurien
    Pourquoi chercher une autre démonstration puisque celle-ci est bonne ?
    Si l'on veut, on peut la rerédiger comme suit.
    On rappelle la définition de la fonction partie entière « plancher » : $y=\left\lfloor x\right\rfloor \Leftrightarrow y\in \mathbb{Z}$ et $y\leq x<x+1$.
    Cette fonction a les deux propriétés : $x\leq y\Rightarrow \left\lfloor x\right\rfloor \leq \left\lfloor y\right\rfloor $, et : $x\in \mathbb{Z}\Leftrightarrow \left\lfloor x\right\rfloor =x$, qu'on peut appliquer systématiquement pour ce problème.

    D'abord, on part de : $\left\lfloor nx\right\rfloor \leq nx$, soit : $\frac{\left\lfloor nx\right\rfloor }{n}\leq x$, d'où : $\left\lfloor \frac{\left\lfloor nx\right\rfloor }{n}\right\rfloor \leq\left\lfloor x\right\rfloor $.

    Ensuite, on part de : $\left\lfloor x\right\rfloor \leq x$, d'où : $n\left\lfloor x\right\rfloor \leq nx$, et par suite : $n\left\lfloor x\right\rfloor \leq \left\lfloor nx\right\rfloor $, soit : $\left\lfloor x\right\rfloor \leq \frac{\left\lfloor nx\right\rfloor }{n}$, et enfin : $\left\lfloor x\right\rfloor \leq \left\lfloor \frac{\left\lfloor nx\right\rfloor }{n}\right\rfloor $.

    C'est la soluton d'Attien, rerédigée.

    Bonne journée.

    Fr. Ch.
    16/08/2019
  • Chaurien
    Chaurien
    La fonction partie entière, nonobstant son caractère élémentaire, a d'intéressantes propriétés.
    En voici une parmi d'autres, dont j'ignore l'origine.Démontrer qu'il existe un seul nombre réel $x$ tel que : $\forall n\in \mathbb{N}^{\ast },\left\lfloor \left\lfloor nx\right\rfloor x\right\rfloor -\left\lfloor nx\right\rfloor =n-1$, et déterminer ce réel, qui est célèbre.Peut-être pourrait-on rassembler dans ce fil une collection de ces propriétés.
    Bonne journée.
    Fr. Ch.
  • Gon
    Gon
    Une deuxième méthode provient du fait que , dans plusieurs corrections sur les parties entières (avec les fiches que j’utilise....) , on utilise la périodicité d’une fonction.
    D’où mon post de ce matin, si tu l’as regardé.
  • Lafdili
    Lafdili
    Vous peuvez procéder comme vous avez dit avec une fonction périodique. Soit $f(x)=E(\frac{E(nx)}{n})-E(x)$. Montrer que $f$ de période égale à 1, et puis qu'elle est nulle sur $[0,1[$.
  • Gon
    Gon
    C’est ce qui fait l’objet de mon post : fonction périodique.
    Y a-t-il une méthode pour trouver une période d’une fonction (dans le cas où cela est possible) ?
    Dans ce post, j’ai eu une indication sur ma question... mais trouver une période ... peut-on procéder par analyse-synthèse avec l’indication reçue ?

    [En typographie, il n'y a pas d'espace avant un point ou une virgule, mais toujours après. :-) AD]
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