Fonction périodique

Gon · August 2019

Bonjour à tous, en résolvant plusieurs exercices sur les parties entières, du style mes publications précédentes, je m’aperçois de l’utilisation très souvent de la périodicité d’une fonction.

J’aimerais donc savoir s’il existe un principe général (méthode) pour trouver la périodicité d’une fonction sans qu’on le demande pour la résolution d’un exo.
Merci pour vos différentes réponses.

[En typographie, il n'y a pas d'espace avant un point ou une virgule, mais toujours après. ;-) AD]

Boole et Bill · August 2019

Salut,
C’est une question un peu générale, si tu as une idée de la période tu peux toujours calculer $f(x+T)$. Si en revanche tu veux trouver la période je pense que l’ensemble $\{x>0\mid \forall y \in \R ,\ f(x+y)=f(y) \}$ est un bon point de départ.

gebrane · August 2019

@Boole et Bill
Il vaut mieux considérer l'ensemble
$G_f=\{0\}\cup \{x>0\mid \forall y \in \R ,\ f(x+y)=f(y) \}$ pour avoir un groupe additif de $\R$ dont on sait des choses :-)

edit Suite à la remarque de Poirot à remplacer le $G_f$ par $G_f=\{0\}\cup \{x\ne 0\mid \forall y \in \R ,\ f(x+y)=f(y) \}$

Boole et Bill · August 2019

Tout à fait Gebrane!

Poirot · August 2019

@gebrane : ça ne risque pas d'être un groupe additif s'il est inclus dans $\mathbb R^+$, sauf s'il est trivial.

gebrane · August 2019

Poirot
C’était par paresse, j'ai copié collé son ensemble. Je corrige

Cidrolin · August 2019

Soit $f$ une fonction de $\R$ vers $\R\setminus\{3\}$, vérifiant pour tout $x$ : $f(x+2019)=\dfrac{f(x)-5}{f(x)-3}$.
Montrer que $f$ est périodique.

gebrane · August 2019

Un exemple intéressant de l'utilisation de la périodicité
si $f:\R \to \R$ tel que $\forall x\in \R,\ f(x+1)+f(x+3)=f(x)+f(x+2)$, Trouver toutes les
$f$ ?
Réponse : $f$ s’écrit $f(x)=g(x)+h(x)+h(x+1)$ avec $g,h$ des fonctions périodiques "$g$ 1-périodique et $h$ 4-périodique".

Fonction périodique

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