Théorème des accroissements finis et limites
SVP, j'ai essayé de rédiger cet exercice, s'il y a des erreurs ou bien des aides pour amélioré mon rédaction !
Soit $\phi$ une fonction définie pour tout $t\in\, ]0,+\infty [$ par $$
\phi(t)=te^{\frac{1}{t}}
$$ 1-Montrer que : $\quad\displaystyle
\forall x>0,~\exists c_x\in ]x,x+1[~tel~que~\phi(x+1)-\phi(x)=\phi'(c_x).$
2- Vérifier que : $\quad\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty} c_x =+\infty.$
et calculer $\quad\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}(x+1)e^{\frac{1}{x+1}}-xe^{\frac{1}{x}}.$
Solution.
1- Soit $x>0$. $\phi$ est continue sur $[x,x+1]$ comme étant composée et produit de fonctions continues.
$\phi$ est dérivable sur $]x,x+1[$ comme étant composée et produit de fonctions dérivables.
Alors, d'après le théorème des accroissement finis $\exists c_x \in\, ]x,x+1[$ tel que $$
\phi'(c_x)=\frac{\phi(x+1)-\phi(x)}{x+1-x}=\phi(x+1)-\phi(x).
$$ 2- On a $x<c_x$, $\forall x>0$, d'où $\quad\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty} c_x =+\infty$
D'autre part $\quad\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}(x+1)e^{\frac{1}{x+1}}-xe^{\frac{1}{x}}=\lim_{x\rightarrow +\infty}\phi'(c_x).$
Or $\quad\displaystyle\phi'(t)=e^{\frac{1}{t}}-\frac{1}{t}e^{\frac{1}{t}}.$ D'où $$
\lim_{x\rightarrow +\infty}\phi'(c_x)=\lim_{x\rightarrow +\infty}e^{\frac{1}{c_x}}-\frac{1}{c_x}e^{\frac{1}{c_x}}=1.$$
Soit $\phi$ une fonction définie pour tout $t\in\, ]0,+\infty [$ par $$
\phi(t)=te^{\frac{1}{t}}
$$ 1-Montrer que : $\quad\displaystyle
\forall x>0,~\exists c_x\in ]x,x+1[~tel~que~\phi(x+1)-\phi(x)=\phi'(c_x).$
2- Vérifier que : $\quad\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty} c_x =+\infty.$
et calculer $\quad\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}(x+1)e^{\frac{1}{x+1}}-xe^{\frac{1}{x}}.$
Solution.
1- Soit $x>0$. $\phi$ est continue sur $[x,x+1]$ comme étant composée et produit de fonctions continues.
$\phi$ est dérivable sur $]x,x+1[$ comme étant composée et produit de fonctions dérivables.
Alors, d'après le théorème des accroissement finis $\exists c_x \in\, ]x,x+1[$ tel que $$
\phi'(c_x)=\frac{\phi(x+1)-\phi(x)}{x+1-x}=\phi(x+1)-\phi(x).
$$ 2- On a $x<c_x$, $\forall x>0$, d'où $\quad\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty} c_x =+\infty$
D'autre part $\quad\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}(x+1)e^{\frac{1}{x+1}}-xe^{\frac{1}{x}}=\lim_{x\rightarrow +\infty}\phi'(c_x).$
Or $\quad\displaystyle\phi'(t)=e^{\frac{1}{t}}-\frac{1}{t}e^{\frac{1}{t}}.$ D'où $$
\lim_{x\rightarrow +\infty}\phi'(c_x)=\lim_{x\rightarrow +\infty}e^{\frac{1}{c_x}}-\frac{1}{c_x}e^{\frac{1}{c_x}}=1.$$
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Réponses
La seule chose un petit peu compliquée serait de justifier pourquoi le $c_x$ est bien une fonction (de $x$), mais bon la réponse requière un axiome de la théorie des ensembles qui n'est pas vraiment étudié en L1/L2 je crois.
On peut s'en sortir en observant que $\phi''(t)=\frac 1{t^3}e^{\frac{1}{t}}$, ce qui prouve que la fonction $\phi'$ est strictement croissante, et donc $c_x$ est unique, et l'on a bien une application $x \mapsto c_x$, qui est bien susceptible d'avoir une limite quand $x \rightarrow + \infty$.
Bonne journée.
Il ne fait pas très beau : où est le réchauffement climatique ?
Fr. Ch.
pour tous ensembles $E,F$ et toute partie $R$ de $E\times F$, si pour tout $x\in E$ il existe $y\in F$ tel que $(x,y)\in R$, alors il existe une fonction $f:E\to F$ telle que pour tout $x\in E$, $\left( x, f(x)\right ) \in R$ $(\dagger)$.
(Pour voir que $(\dagger)$ entraîne l'axiome du choix-compris comme l'existence sur tout ensemble d'une fonction de choix(*) - il suffit étant donné un ensemble $X$, de poser $E:=X$, $F:=\mathcal P(X)\backslash \{\emptyset\}$ et $R:=\{(p,q) \in E\times F \mid p \in q\}$ et d'appliquer la conclusion de l'énoncé. Réciproquement, soient $E$ et $F$ comme dans l'énoncé et $\psi:\mathcal P(E\times F) \backslash \{\emptyset\} \to E\times F$ telle que $\psi(t)\in t$ pour toute partie $t$ non vide de $E\times F$. Si $x\in E$ soit $T_x:=\{(x,z) \mid z\in F\}\cap R$. Soit $p_F: (a,b)\in E\times F \mapsto b$. Alors $f:x\mapsto p_F \circ \psi (T_x)$ satisfait $\left (u,f(u) \right ) \in R$ pour tout $u$).
[size=x-small](*) une fonction de choix sur un ensemble $Y$ est une application $\varphi: \mathcal P(Y)\backslash \{\emptyset\} \to Y$ telle que pour toute partie non vide $A$ de $Y$, on a $\varphi(A)\in A$.[/size]
Pardonnez-moi,
Dites-vous que l’axiome du choix prouve l’unicité de ce $c_x$ ?
En toute généralité, il existe plusieurs $c_x$, non ?
Cordialement
Dom
Édit. Je comprends que cette histoire de limite pose problème et il faudrait corriger en « quelle que soit la fonction $x\mapsto c_x$, ça tend vers l’infini... ».
Je réitère ma question sur l’unicité.
Corrige moi.
1) L’axiome du choix justifie qu’il existe une fonction $x \mapsto c_x$ (avec les bons ensembles de départ et d’arrivée).
2) Si l’on avait unicité, l’axiome du choix serait inutile.
Par exemple imagine une équation fonctionnelle ardue
Un truc1, donne l'existence d'une solution
Un truc2, prouve l'unicité en cas d'existence
Dom est ce que le truc 2 rend inutile le truc 1 ?
Mais si pour tout x il existe un unique c(x), cela définit bien une fonction (avec les bons ensembles).
[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]L'axiome du choix ne garantit pas l'unicité, il garantit l'existence (d'au moins) une relation fonctionnelle entre l'élément $c_x$ et l'ensemble $[x, x+1]$ quelque soit $x >0$. Dans chaque ensemble $[x, x+1]$ il pourrait y avoir $1, 2, 10,$ cent milliards de valeurs qui conviennent. Sans l'axiome du choix on devrait choisir arbitrairement une valeur dans chaque ensemble. Et cela ne garantit pas du tout qu'on puisse dire la valeur $c$ choisie dans $[x, x+1]$ ne dépende fonctionnellement de $x$ et ceci quelque soit $x>0$.
On peut comprendre intuitivement l'axiome du choix de cette façon, dans la théorie des ensembles de ZF (sans axiome du choix) les ensembles sont définis par des prédicats.
À partir d'un prédicat on peut construire un ensemble, et étant donné un ensemble il existe (au moins) une propriété caractéristique de cet ensemble.
Reste la question est-il possible de construire des ensembles sans faire appel à des prédicats ? Dans ZF la réponse est non. Dans ZF+AC la réponse est oui. Et comme on le voit en analyse même au niveau des problèmes de L1/prépa on a besoin de l'AC. Chaque fois qu'on opère une infinité de choix arbitraires l'AC se cache derrière.