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Théorème des accroissements finis et limites

Envoyé par Lafdili 
Théorème des accroissements finis et limites
il y a deux mois
SVP, j'ai essayé de rédiger cet exercice, s'il y a des erreurs ou bien des aides pour amélioré mon rédaction !

Soit $\phi$ une fonction définie pour tout $t\in\, ]0,+\infty [$ par $$
\phi(t)=te^{\frac{1}{t}}
$$ 1-Montrer que : $\quad\displaystyle
\forall x>0,~\exists c_x\in ]x,x+1[~tel~que~\phi(x+1)-\phi(x)=\phi'(c_x).$
2- Vérifier que : $\quad\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty} c_x =+\infty.$
et calculer $\quad\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}(x+1)e^{\frac{1}{x+1}}-xe^{\frac{1}{x}}.$

Solution.
1- Soit $x>0$. $\phi$ est continue sur $[x,x+1]$ comme étant composée et produit de fonctions continues.
$\phi$ est dérivable sur $]x,x+1[$ comme étant composée et produit de fonctions dérivables.
Alors, d'après le théorème des accroissement finis $\exists c_x \in\, ]x,x+1[$ tel que $$
\phi'(c_x)=\frac{\phi(x+1)-\phi(x)}{x+1-x}=\phi(x+1)-\phi(x).
$$ 2- On a $x<c_x$, $\forall x>0$, d'où $\quad\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty} c_x =+\infty$
D'autre part $\quad\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}(x+1)e^{\frac{1}{x+1}}-xe^{\frac{1}{x}}=\lim_{x\rightarrow +\infty}\phi'(c_x).$
Or $\quad\displaystyle\phi'(t)=e^{\frac{1}{t}}-\frac{1}{t}e^{\frac{1}{t}}.$ D'où $$
\lim_{x\rightarrow +\infty}\phi'(c_x)=\lim_{x\rightarrow +\infty}e^{\frac{1}{c_x}}-\frac{1}{c_x}e^{\frac{1}{c_x}}=1.$$



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Re: théorème des accroissements finis et limites
il y a deux mois
Je ne vois pas d'erreur.
La seule chose un petit peu compliquée serait de justifier pourquoi le $c_x$ est bien une fonction (de $x$), mais bon la réponse requière un axiome de la théorie des ensembles qui n'est pas vraiment étudié en L1/L2 je crois.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Re: théorème des accroissements finis et limites
il y a deux mois
Merci SERGE_S smiling smiley
Re: théorème des accroissements finis et limites
il y a deux mois
L'énoncé ne demande pas d'établir l’unicité de $c_x$, d'où un doute sur la définition d'une application $x \mapsto c_x$, sauf à faire intervenir DuChoix qui comme dit Serge_S est hors programme. Encore un exo mal foutu !
On peut s'en sortir en observant que $\phi''(t)=\frac 1{t^3}e^{\frac{1}{t}}$, ce qui prouve que la fonction $\phi'$ est strictement croissante, et donc $c_x$ est unique, et l'on a bien une application $x \mapsto c_x$, qui est bien susceptible d'avoir une limite quand $x \rightarrow + \infty$.
Bonne journée.
Il ne fait pas très beau : où est le réchauffement climatique ?
Fr. Ch.
Re: théorème des accroissements finis et limites
il y a deux mois
En fait l'axiome du choix est carrément équivalent à l'énoncé suivant:
pour tous ensembles $E,F$ et toute partie $R$ de $E\times F$, si pour tout $x\in E$ il existe $y\in F$ tel que $(x,y)\in R$, alors il existe une fonction $f:E\to F$ telle que pour tout $x\in E$, $\left( x, f(x)\right ) \in R$ $(\dagger)$.

(Pour voir que $(\dagger)$ entraîne l'axiome du choix-compris comme l'existence sur tout ensemble d'une fonction de choix(*) - il suffit étant donné un ensemble $X$, de poser $E:=X$, $F:=\mathcal P(X)\backslash \{\emptyset\}$ et $R:=\{(p,q) \in E\times F \mid p \in q\}$ et d'appliquer la conclusion de l'énoncé. Réciproquement, soient $E$ et $F$ comme dans l'énoncé et $\psi:\mathcal P(E\times F) \backslash \{\emptyset\} \to E\times F$ telle que $\psi(t)\in t$ pour toute partie $t$ non vide de $E\times F$. Si $x\in E$ soit $T_x:=\{(x,z) \mid z\in F\}\cap R$. Soit $p_F: (a,b)\in E\times F \mapsto b$. Alors $f:x\mapsto p_F \circ \psi (T_x)$ satisfait $\left (u,f(u) \right ) \in R$ pour tout $u$).


(*) une fonction de choix sur un ensemble $Y$ est une application $\varphi: \mathcal P(Y)\backslash \{\emptyset\} \to Y$ telle que pour toute partie non vide $A$ de $Y$, on a $\varphi(A)\in A$.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Foys.
Dom
Re: théorème des accroissements finis et limites
il y a deux mois
Bonjour
Pardonnez-moi,
Dites-vous que l’axiome du choix prouve l’unicité de ce $c_x$ ?
En toute généralité, il existe plusieurs $c_x$, non ?
Cordialement
Dom

Édit. Je comprends que cette histoire de limite pose problème et il faudrait corriger en « quelle que soit la fonction $x\mapsto c_x$, ça tend vers l’infini... ».
Je réitère ma question sur l’unicité.



Edité 2 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Re: Théorème des accroissements finis et limites
il y a deux mois
Il n'y a pas unicité et ce n'est pas ce que l'axiome du choix affirme.
Dom
Re: Théorème des accroissements finis et limites
il y a deux mois
Ok. Merci bien.
Corrige moi.

1) L’axiome du choix justifie qu’il existe une fonction $x \mapsto c_x$ (avec les bons ensembles de départ et d’arrivée).

2) Si l’on avait unicité, l’axiome du choix serait inutile.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Re: Théorème des accroissements finis et limites
il y a deux mois
avatar
Non Dom
Par exemple imagine une équation fonctionnelle ardue
Un truc1, donne l'existence d'une solution
Un truc2, prouve l'unicité en cas d'existence

Dom est ce que le truc 2 rend inutile le truc 1 ?

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[Le meilleur moyen de fuir le monde est de pénétrer les mathématiques ]
Dom
Re: Théorème des accroissements finis et limites
il y a deux mois
Ça je comprends.
Mais si pour tout x il existe un unique c(x), cela définit bien une fonction (avec les bons ensembles).
Re: Théorème des accroissements finis et limites
il y a deux mois
Pour la question initiale, le réel $c_x$ est unique, d'où comme j'ai dit l'existence de l'application $x \mapsto c_x$. Nous sommes dans un exercice posé en Math. Sup, à Bac+1. Inutile d'embêter les jeunes étudiants avec des subtilités logiques qui seront étudiées bien après.
Re: théorème des accroissements finis et limites
il y a deux mois
Dom écrivait : [www.les-mathematiques.net]
[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]

L'axiome du choix ne garantit pas l'unicité, il garantit l'existence (d'au moins) une relation fonctionnelle entre l'élément $c_x$ et l'ensemble $[x, x+1]$ quelque soit $x >0$. Dans chaque ensemble $[x, x+1]$ il pourrait y avoir $1, 2, 10,$ cent milliards de valeurs qui conviennent. Sans l'axiome du choix on devrait choisir arbitrairement une valeur dans chaque ensemble. Et cela ne garantit pas du tout qu'on puisse dire la valeur $c$ choisie dans $[x, x+1]$ ne dépende fonctionnellement de $x$ et ceci quelque soit $x>0$.

On peut comprendre intuitivement l'axiome du choix de cette façon, dans la théorie des ensembles de ZF (sans axiome du choix) les ensembles sont définis par des prédicats.
À partir d'un prédicat on peut construire un ensemble, et étant donné un ensemble il existe (au moins) une propriété caractéristique de cet ensemble.
Reste la question est-il possible de construire des ensembles sans faire appel à des prédicats ? Dans ZF la réponse est non. Dans ZF+AC la réponse est oui. Et comme on le voit en analyse même au niveau des problèmes de L1/prépa on a besoin de l'AC. Chaque fois qu'on opère une infinité de choix arbitraires l'AC se cache derrière.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Re: Théorème des accroissements finis et limites
il y a deux mois
avatar
Oui Dom ça définit bien une application; c'est l'application f qui associe à chaque x l'unique c_x ( \forall x, f(x)=c_x)

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[Le meilleur moyen de fuir le monde est de pénétrer les mathématiques ]
Re: Théorème des accroissements finis et limites
il y a deux mois
Citation
SERGE_S
Reste la question est-il possible de construire des ensembles sans faire appel à des prédicats ? Dans ZF la réponse est non.
La plupart des axiomes de ZF permettent de construire des ensembles sans prédicat (en garantissant l'existence d'ensembles avec certaines propriétés comme l'ensemble des parties d'un autre ensemble ou l'image d'un ensemble par une relation fonctionnelle, garanti par le schéma de substitution).



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Re: Théorème des accroissements finis et limites
il y a deux mois
Citation
Chaurien
Pour la question initiale, le réel $c_x$ est unique, d'où comme j'ai dit l'existence de l'application $x\mapsto c_x$. Nous sommes dans un exercice posé en Math. Sup, à Bac+1. Inutile d'embêter les jeunes étudiants avec des subtilités logiques qui seront étudiées bien après.
Quand j'étais en taupe on avait droit au théorème de la base incomplète pour les espaces vectoriels (il entraîne l'axiome du choix lui aussi) mais ça a peut-être changé.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Dom
Re: Théorème des accroissements finis et limites
il y a deux mois
Oui Chaurien, sur cet exemple on a unicité mais dans d’autres on ne l’aura pas nécessairement.
Re: Théorème des accroissements finis et limites
il y a deux mois
Bonjour,

Nul besoin de l'axiome du choix dès que $\phi{'}$ est continue (ce qui est le cas ici).
Prendre $c_x=c(x)=\inf\{y\in [x;x+1] | \phi^{'}(y)=\phi(x+1)-\phi(x)\} $
Puis $c(x) \ge x$ permet de conclure.


Post publication : cette fonction ne vérifie pas forcément $c(x)>x$ so on s'en tient à l'énoncé. Mais comme on peut le voir l'inégalité stricte ne sert à rien ici.
Rem : on aurait aussi pu prendre un sup.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par side.
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