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Un corollaire de Hahn-Banach

Envoyé par Lafdili 
Un corollaire de Hahn-Banach
il y a six mois
Soit $E$ un espace vectoriel normé sur $\mathbb{R}$, on note $E'$ son duale topologique, le corollaire dit que pour tout $x_0\in E,\,\exists f_0\in E'$ telle que $\| f_0 \| =\| x_0 \| $ et $<f_0,x_0>\,=\| x_0 \|^2$.
Je voudrais savoir un exemple tel que l'élément $f_0$ n'est pas unique ?



Edité 2 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a six mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Re: Un corollaire de Hahn-Banach
il y a six mois
Bonjour.

$f_1=f_0+g$ où $g$ est choisie de façon que $x\in \ker(g)$.

Cordialement.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a six mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Re: Un corollaire de Hahn-Banach
il y a six mois
avatar
Etant donné $x_0$ dans E, tu choisis $g$ dans E' tel que $g(x_0)=1$ et $||g||=1$, comme ça $\tilde f=f_0g$ répond mieux me semble-il à ta question que le $f_1=f_0+g$ car on ne voit pas pourquoi $||f_1||=||f_0|| $ sauf mention contraire

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[Le meilleur moyen de fuir le monde est de pénétrer les mathématiques ]
Re: Un corollaire de Hahn-Banach
il y a six mois
Ah, effectivement,

j'avais zappé cette hypothèse grinning smiley

Qu'entends-tu par $f_0g$ ??

Cordialement.
MrJ
Re: Un corollaire de Hahn-Banach
il y a six mois
Re: Un corollaire de Hahn-Banach
il y a six mois
avatar
$f_0g$ est le produit de $f_0$ par $g$
Merci Mrj , donc si l'espace est lisse , on a l'unicité
J'ai un paradoxe; si on est dans un espace lisse, Pourquoi mon $\tilde f$ ne peut pas faire l'affaire ?eye rolling smiley

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[Le meilleur moyen de fuir le monde est de pénétrer les mathématiques ]
MrJ
Re: Un corollaire de Hahn-Banach
il y a six mois
Ton application n’est pas linéaire.
Re: Un corollaire de Hahn-Banach
il y a six mois
avatar
thumbs down

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[Le meilleur moyen de fuir le monde est de pénétrer les mathématiques ]
Re: Un corollaire de Hahn-Banach
il y a six mois
Pas de produit d'endomorphismes dans un espace vectoriel quelconque. Donc $f_0g$ n'est même pas défini.

Cordialement.
Re: Un corollaire de Hahn-Banach
il y a six mois
avatar
Le produit est bien défini puisque ce sont des formes linéaires $(f_0.g)(x)=f_0(x).g(x)$ comme produit d'un réel par un réel.

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[Le meilleur moyen de fuir le monde est de pénétrer les mathématiques ]



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a six mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Re: Un corollaire de Hahn-Banach
il y a six mois
Ah oui ! Je suis déjà endormi ce soir !!

Cordialement.
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