Un corollaire de Hahn-Banach
Soit $E$ un espace vectoriel normé sur $\mathbb{R}$, on note $E'$ son duale topologique, le corollaire dit que pour tout $x_0\in E,\,\exists f_0\in E'$ telle que $\| f_0 \| =\| x_0 \| $ et $<f_0,x_0>\,=\| x_0 \|^2$.
Je voudrais savoir un exemple tel que l'élément $f_0$ n'est pas unique ?
Je voudrais savoir un exemple tel que l'élément $f_0$ n'est pas unique ?
Réponses
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Bonjour.
$f_1=f_0+g$ où $g$ est choisie de façon que $x\in \ker(g)$.
Cordialement. -
Etant donné $x_0$ dans E, tu choisis $g$ dans E' tel que $g(x_0)=1$ et $||g||=1$, comme ça $\tilde f=f_0g$ répond mieux me semble-il à ta question que le $f_1=f_0+g$ car on ne voit pas pourquoi $||f_1||=||f_0|| $ sauf mention contraireLe 😄 Farceur
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Ah, effectivement,
j'avais zappé cette hypothèse :-D
Qu'entends-tu par $f_0g$ ??
Cordialement. -
Quelques pistes : Espace strictement convexe.
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$f_0g$ est le produit de $f_0$ par $g$
Merci Mrj , donc si l'espace est lisse , on a l'unicité
J'ai un paradoxe; si on est dans un espace lisse, Pourquoi mon $\tilde f$ ne peut pas faire l'affaire ?8-)Le 😄 Farceur -
Ton application n’est pas linéaire.
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(tu)Le 😄 Farceur
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Pas de produit d'endomorphismes dans un espace vectoriel quelconque. Donc $f_0g$ n'est même pas défini.
Cordialement. -
Le produit est bien défini puisque ce sont des formes linéaires $(f_0.g)(x)=f_0(x).g(x)$ comme produit d'un réel par un réel.Le 😄 Farceur
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Ah oui ! Je suis déjà endormi ce soir !!
Cordialement.
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Bonjour!
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