Un corollaire de Hahn-Banach

Lafdili
Lafdili
dans Analyse
Soit $E$ un espace vectoriel normé sur $\mathbb{R}$, on note $E'$ son duale topologique, le corollaire dit que pour tout $x_0\in E,\,\exists f_0\in E'$ telle que $\| f_0 \| =\| x_0 \| $ et $<f_0,x_0>\,=\| x_0 \|^2$.
Je voudrais savoir un exemple tel que l'élément $f_0$ n'est pas unique ?

Réponses

  • gerard0
    gerard0
    Bonjour.

    $f_1=f_0+g$ où $g$ est choisie de façon que $x\in \ker(g)$.

    Cordialement.
  • gebrane
    gebrane
    Etant donné $x_0$ dans E, tu choisis $g$ dans E' tel que $g(x_0)=1$ et $||g||=1$, comme ça $\tilde f=f_0g$ répond mieux me semble-il à ta question que le $f_1=f_0+g$ car on ne voit pas pourquoi $||f_1||=||f_0|| $ sauf mention contraire
    Le 😄 Farceur


  • gerard0
    gerard0
    Ah, effectivement,

    j'avais zappé cette hypothèse :-D

    Qu'entends-tu par $f_0g$ ??

    Cordialement.
  • MrJ
    MrJ
    Quelques pistes : Espace strictement convexe.
  • gebrane
    gebrane
    $f_0g$ est le produit de $f_0$ par $g$
    Merci Mrj , donc si l'espace est lisse , on a l'unicité
    J'ai un paradoxe; si on est dans un espace lisse, Pourquoi mon $\tilde f$ ne peut pas faire l'affaire ?8-)
    Le 😄 Farceur


  • MrJ
    MrJ
    Ton application n’est pas linéaire.
  • gebrane
    gebrane
    (tu)
    Le 😄 Farceur


  • gerard0
    gerard0
    Pas de produit d'endomorphismes dans un espace vectoriel quelconque. Donc $f_0g$ n'est même pas défini.

    Cordialement.
  • gebrane
    gebrane
    Le produit est bien défini puisque ce sont des formes linéaires $(f_0.g)(x)=f_0(x).g(x)$ comme produit d'un réel par un réel.
    Le 😄 Farceur


  • gerard0
    gerard0
    Ah oui ! Je suis déjà endormi ce soir !!

    Cordialement.
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