Calcul d'une intégrale
Bonjour
soit la fonction $\Pi$ définie par $$
\Pi(x)
=
\begin{cases}
1 &:|x| < 1/2\\
0&: |x| \geq 1/2
\end{cases}
$$ La question est de calculer le produit de convolution $\Pi \star \Pi (x)$. J'ai fait ceci : $$
\Pi \star \Pi(x)= \int_{-\infty}^{+\infty} \Pi(y) \Pi(x-y) \mathrm{d}y = \int_{-1/2}^{1/2} \Pi(x-y) \mathrm{d}y.
$$ Par un changement de variable $s=x-y$, cela donne que $$
\Pi \star \Pi(x)= \displaystyle\int_{x+1/2}^{x-1/2} \Pi(s) \mathrm{d}s.
$$ Après ça je bloque pour continuer. Comment continuer le calcul ?
Bien cordialement.
soit la fonction $\Pi$ définie par $$
\Pi(x)
=
\begin{cases}
1 &:|x| < 1/2\\
0&: |x| \geq 1/2
\end{cases}
$$ La question est de calculer le produit de convolution $\Pi \star \Pi (x)$. J'ai fait ceci : $$
\Pi \star \Pi(x)= \int_{-\infty}^{+\infty} \Pi(y) \Pi(x-y) \mathrm{d}y = \int_{-1/2}^{1/2} \Pi(x-y) \mathrm{d}y.
$$ Par un changement de variable $s=x-y$, cela donne que $$
\Pi \star \Pi(x)= \displaystyle\int_{x+1/2}^{x-1/2} \Pi(s) \mathrm{d}s.
$$ Après ça je bloque pour continuer. Comment continuer le calcul ?
Bien cordialement.
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Réponses
Bien cordialement
Tu fais un dessin de $\Pi$ et tu discutes la place des bornes inférieures et supérieures...
Ou bien
Décomposer $y\mapsto\Pi(y)$ à l'aide de fonctions de Heaviside décalées, idem pour $y\mapsto\Pi(x-y)$, développer le produit et réfléchir sur les produits de fonctions de Heaviside (là encore, un dessin peut être utile)
Dans tous les cas, pour les fonctions réelles simples, un petit dessin débrouille fortement les neurones.
Cordialement.
Tu fais le dessin de $\Pi(s)$ et tu discutes les bornes inférieure et supérieure par rapport qu support de cette fonction.
Par exemple : $J= \int_{x-1/2}^{x+1/2} \Pi(s)ds$ remarque que j'ai inversé les bornes pour écrire la borne inférieure plus petite que la borne supérieure.
Si $x+1/2 \leq -1/2$ ou encore $x\leq -1$, alors $J=0$, puisque l'intervalle d'intégration est en dehors, à gauche, du support de la fonction.
Si $x-1/2\geq 1/2$ ou encore $x \geq 1$, alors $J=0$, puisque l'intervalle d'intégration est en dehors, à droite, du support de la fonction.
Si $x-1/2 \geq -1/2$ et $x+1/2 \leq 1/2$ ou encore $x=0$ et $J=1$, puisqu'on intègre $1$ entre $-1/2$ et $1/2.$
Ils restent les autres cas intéressants... si $-1 \leq x \leq 0$, alors $\int_{-1/2}^{x+1/2}...$ ;et si $0 \leq x \leq 1$, alors $\int_{x-1/2}^{1/2}...$
tu pourrais lire vraiment les messages : " ... pour différentes valeurs de x".
On ne va pas faire ces schémas élémentaires à ta place, bouge-toi !
Regarde les explications de YvesM