Bonjour,
Pour la série avec $\pi\sqrt 2$, en passant par la mesure d'irrationalité de $\sqrt 2$, tout exposant $>2$ suffit pour montrer une convergence absolue de la série.
En fait, il me semble (je vérifierai) avoir vu dans un livre d'exercices que $>1$ suffit pour la convergence absolue.
Ça passait par des estimations très difficiles à obtenir de $\sum_{2^n+1\le k\le 2^{n+1}}1/|\sin (k\pi\sqrt 2)|$ ou quelque chose qui y ressemblait.
Post publication
Ref : problèmes d'analyse réelle, édition cassini (traduit du russe, donc éventuelles coquilles de traduction)
La série $\sum \frac{1}{n^a|\sin(\pi\sqrt 2 n) |} $ est convergente pour $a>1$
Le corrigé montre un résultat plus fort :
Soit $\alpha$ irrationnel qui n'est pas un nombre de Liouville ie qu'il existe $\delta, \sigma >0$ tels que $|\alpha-m/n|\ge \delta/n^{\sigma}$ pour toute fraction $m/n, m\in Z, n\in N^{*}$
Alors la série $\sum \frac{1}{n^a|\sin(\pi\alpha n) |} $ est convergente pour $a>\sigma-1$ et conclut avec $\sigma=2$ pour $\alpha=\sqrt 2$
La demontration utilise l'inégalité suivante : soit $S_{N}(\alpha) =\sum_{N/2<n\le N} \frac{1}{|sin(\pi\alpha n)|} $ alors $S_{N}(\alpha)\le 4\frac{N^{\alpha-1}}{\delta} min(\frac{\sigma-1}{\sigma-2}, \ln(N^{\sigma-1}/\delta))$
En sommant par paquet $2^k<n\le 2^{k+1}$ l'inégalité permet de conclure.
La démonstration de cette inégalité est difficile à obtenir et utilise entre autre un autre résultat difficile qui fait l'objet d'un autre exercice qui montre que : les indices $n$ tels que $x_n=min_{m\in Z} |\alpha-m/n|$ est de l'ordre de $n^{-\sigma}$ sont rares (ils croissent plus vite qu'une suite géométrique).
Si on revient à la question du post : la série est absolument convergente si $2>mes(1/\pi)-1$
Donc si la mesure d'irrationalité de $1/\pi$ est strictement inférieure à $3$ la série est absolument convergente.
Edité 2 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par side.
. L’exemple de la série harmonique est un exemple.
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