@gebrane , même si le terme général de la série tend vers $0$ , cela ne signifie pas qu’il y a convergence de la série ... si je ne me trompe pas 8-). L’exemple de la série harmonique est un exemple.
si on arrêtait la somme à n = 100 on obtiendrait un résultat très proche
d'autre part : $\Sigma_1^{1000}\frac{1}{n^2} = 1,643934567....$ résultat proche du premier
comme si finalement le sinus pesait peu dans la convergence
ce phénomène s'explique par le fait que l'alternance de signe du sinus est régulière (tous les 3 ou 4 termes)
et donc il existe une compensation dans la sommation entre les termes positifs et les termes négatifs
le premier résultat est d'ailleurs proche du résultat de la somme à l'infini (série harmonique des n²) soit $\frac{\pi^2}{6} = 1,644934067...$
Le problème est qu'il peut y avoir des $n$ tels que $|\sin(n)|<\frac 1 {n^4}$ qui font brutalement augmenter la somme partielle de plus de $n^2$. Même s'il n'y en a pas pour des valeurs faibles de $n$, apparemment.
Comme le disent les intervenants ci-dessus, on va avoir un problème chaque fois que la distance de $n/\pi$ à son entier le plus proche, notée $\| n/\pi \|$, est proche de $0$ : soit $\delta \in \left] 0 , \frac{1}{2} \right]$ et $N \geqslant 1$ entier. Alors
$$\sum_{n=1}^N \frac{1}{n^2 \left| \sin n \right|} \geqslant \frac{1}{\pi} \sum_{n=1}^N \frac{1}{n^2 \| n/\pi \|} \geqslant \frac{1}{\pi} \sum_{\substack{n=1 \\ \| n/\pi \| \leqslant \delta }}^N \frac{1}{n^2 \| n/\pi \|} \geqslant \frac{1}{\pi \delta} \underset{\delta \to 0^+}{\longrightarrow} + \infty.$$
On peut éventuellement contourner le problème en multipliant $n$ par un irrationnel. Par exemple
$$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3 \sin( n \pi \sqrt 2)} = - \frac{13 \pi^3}{360 \sqrt 2}.$$
Pour cette série, voir par exemple http://functions.wolfram.com/ElementaryFunctions/Csc/23/02/.
Je m’y connais très mal en intégrale...mais n’est-il pas possible de comparer sur des intervalles choisis (quand $n$ est aussi grand qu’on veut) le terme général avec son intégrale ?
Sait-on « primitiver » ou estimer $x\mapsto \frac{1}{x^2 \sin (x)}$ sur des intervalles convenablement choisis ?
@noix de toto
Tu suggères « d’irrationaliser » les choses mais, tu mets aussi de l’exposant $3$ au lieu du $2$.
Qu’ai-je mal compris ?
Non l'exposant $3$ est celle de la série que j'ai trouvé sur le net. Il n'y a pas l'équivalent avec l'exposant $2$, du moins pas à ma connaissance. Quant à comparer avec une intégrale, tu ne pourras pas échapper à intégrer sur des intervalles pour lesquels $\| x/\pi \|$ est très petite.
Pour la comparaison avec intégrale, oui, je pensais qu’on pouvait obtenir des approximations plus fines qu’avec des « choses discrètes ».
En vue de démontrer la convergence/divergence de la série.
Donc on a montré que la série diverge en valeur absolue.
Sait-on montrer que la limite du terme général est nulle à l’infini ? Si elle est nulle pour la valeur absolue alors elle est nulle ; c’est une simplification car on garde un signe constant.
Réponses
Ta série me semble-t-il est déjà traitée sur ce Forum
Il peut commencer par ce point qui n'est pas si simple. À travers ce point, on voit la complexité de la chose.
Je n’arrive pas à montrer que le terme tend vers zéro à l’infini (si c’est le cas). Je veux bien une référence.
$$\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n^2 \sin n}=0$$
est un problème ouvert, si on en croit ce lien.
Une autre référence http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,523849,524227#msg-524227 sur la suite 1/nsin(n) ou on démontre que la suite ne peut pas tendre vers 0 mais il "faut" que AD rétablisse le message effacé de qg77
[Ce n'est malheureusement pas possible. Discussion trop ancienne. :-( AD]
Pourtant, graphiquement, les séries partielles semblent converger sans problème.
empiriquement on constate la convergence de ta série en effet :
$\Sigma_1^{1000}\frac{1}{n^2sin(n)} = 1,640796619...$
si on arrêtait la somme à n = 100 on obtiendrait un résultat très proche
d'autre part : $\Sigma_1^{1000}\frac{1}{n^2} = 1,643934567....$ résultat proche du premier
comme si finalement le sinus pesait peu dans la convergence
ce phénomène s'explique par le fait que l'alternance de signe du sinus est régulière (tous les 3 ou 4 termes)
et donc il existe une compensation dans la sommation entre les termes positifs et les termes négatifs
le premier résultat est d'ailleurs proche du résultat de la somme à l'infini (série harmonique des n²) soit $\frac{\pi^2}{6} = 1,644934067...$
cordialement
Cordialement.
$$\sum_{n=1}^N \frac{1}{n^2 \left| \sin n \right|} \geqslant \frac{1}{\pi} \sum_{n=1}^N \frac{1}{n^2 \| n/\pi \|} \geqslant \frac{1}{\pi} \sum_{\substack{n=1 \\ \| n/\pi \| \leqslant \delta }}^N \frac{1}{n^2 \| n/\pi \|} \geqslant \frac{1}{\pi \delta} \underset{\delta \to 0^+}{\longrightarrow} + \infty.$$
On peut éventuellement contourner le problème en multipliant $n$ par un irrationnel. Par exemple
$$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3 \sin( n \pi \sqrt 2)} = - \frac{13 \pi^3}{360 \sqrt 2}.$$
Pour cette série, voir par exemple http://functions.wolfram.com/ElementaryFunctions/Csc/23/02/.
Je m’y connais très mal en intégrale...mais n’est-il pas possible de comparer sur des intervalles choisis (quand $n$ est aussi grand qu’on veut) le terme général avec son intégrale ?
Sait-on « primitiver » ou estimer $x\mapsto \frac{1}{x^2 \sin (x)}$ sur des intervalles convenablement choisis ?
@noix de toto
Tu suggères « d’irrationaliser » les choses mais, tu mets aussi de l’exposant $3$ au lieu du $2$.
Qu’ai-je mal compris ?
Cordialement
Pour la comparaison avec intégrale, oui, je pensais qu’on pouvait obtenir des approximations plus fines qu’avec des « choses discrètes ».
En vue de démontrer la convergence/divergence de la série.
À plus tard.
Donc on a montré que la série diverge en valeur absolue.
Sait-on montrer que la limite du terme général est nulle à l’infini ? Si elle est nulle pour la valeur absolue alors elle est nulle ; c’est une simplification car on garde un signe constant.
On en déduit que la suite de terme général $\frac{1}{n \sin(n)}$ ne converge pas vers $0$.
Ça ne converge pas vers $0$ donc la série ne converge pas.
Remarque : par contre la suite des sommes partielles peut très bien être bornée (comme la série des $(-1)^n$).