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Nature d’une série

Envoyé par YvesM 
Nature d’une série
il y a sept mois
avatar
Bonjour,

Je me demande quelle est la nature de la série $\displaystyle \sum_{ n\geq 1} {1\over n^2 \sin n}$ ?

Je n’arrive à rien...
Re: Nature d’une série
il y a sept mois
avatar
Tu peux quand même prouver que le terme général de la série tend vers 0
Ta série me semble-t-il est déjà traitée sur ce Forum

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[Le meilleur moyen de fuir le monde est de pénétrer les mathématiques ]
Re: Nature d’une série
il y a sept mois
@gebrane , même si le terme général de la série tend vers $0$ , cela ne signifie pas qu’il y a convergence de la série ... si je ne me trompe pas eye rolling smiley. L’exemple de la série harmonique est un exemple.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a sept mois et a été effectuée par AD.
Re: Nature d’une série
il y a sept mois
avatar
Attien, YvesM a dit Je n’arrive à rien...

Il peut commencer par ce point qui n'est pas si simple. À travers ce point, on voit la complexité de la chose.

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[Le meilleur moyen de fuir le monde est de pénétrer les mathématiques ]



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a sept mois et a été effectuée par AD.
Re: Nature d’une série
il y a sept mois
avatar
Bonjour,

Je n’arrive pas à montrer que le terme tend vers zéro à l’infini (si c’est le cas). Je veux bien une référence.
Re: Nature d’une série
il y a sept mois
Apparemment, même le fait que
$$\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n^2 \sin n}=0$$
est un problème ouvert, si on en croit ce lien.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a sept mois et a été effectuée par Héhéhé.
Re: Nature d’une série
il y a sept mois
avatar
Voici une référence edit [math.stackexchange.com] d'un problème similaire 1/(n^3sin n), la nature de la suite semble ouverte. Dans ce lien, ça dit que la serie des 1/(n^7 sin n) converge
Une autre référence [www.les-mathematiques.net] sur la suite 1/nsin(n) ou on démontre que la suite ne peut pas tendre vers 0 mais il "faut" que AD rétablisse le message effacé de qg77

[Ce n'est malheureusement pas possible. Discussion trop ancienne. sad smiley AD]

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[Le meilleur moyen de fuir le monde est de pénétrer les mathématiques ]



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a sept mois et a été effectuée par AD.
Re: Nature d’une série
il y a sept mois
avatar
Bonjour,

Pourtant, graphiquement, les séries partielles semblent converger sans problème.
Re: Nature d’une série
il y a sept mois
Et $\displaystyle \sum_{ n\geq 1} {1\over n \sin n}$ ?
Re: Nature d’une série
il y a sept mois
bonjour

empiriquement on constate la convergence de ta série en effet :

$\Sigma_1^{1000}\frac{1}{n^2sin(n)} = 1,640796619...$

si on arrêtait la somme à n = 100 on obtiendrait un résultat très proche

d'autre part : $\Sigma_1^{1000}\frac{1}{n^2} = 1,643934567....$ résultat proche du premier

comme si finalement le sinus pesait peu dans la convergence
ce phénomène s'explique par le fait que l'alternance de signe du sinus est régulière (tous les 3 ou 4 termes)
et donc il existe une compensation dans la sommation entre les termes positifs et les termes négatifs

le premier résultat est d'ailleurs proche du résultat de la somme à l'infini (série harmonique des n²) soit $\frac{\pi^2}{6} = 1,644934067...$

cordialement
Re: Nature d’une série
il y a sept mois
Le problème est qu'il peut y avoir des $n$ tels que $|\sin(n)|<\frac 1 {n^4}$ qui font brutalement augmenter la somme partielle de plus de $n^2$. Même s'il n'y en a pas pour des valeurs faibles de $n$, apparemment.

Cordialement.
Re: Nature d’une série
il y a sept mois
C'est effectivement lié à la mesure d'irrationalité de $\pi$.
Re: Nature d’une série
il y a sept mois
Comme le disent les intervenants ci-dessus, on va avoir un problème chaque fois que la distance de $n/\pi$ à son entier le plus proche, notée $\| n/\pi \|$, est proche de $0$ : soit $\delta \in \left] 0 , \frac{1}{2} \right]$ et $N \geqslant 1$ entier. Alors
$$\sum_{n=1}^N \frac{1}{n^2 \left| \sin n \right|} \geqslant \frac{1}{\pi} \sum_{n=1}^N \frac{1}{n^2 \| n/\pi \|} \geqslant \frac{1}{\pi} \sum_{\substack{n=1 \\ \| n/\pi \| \leqslant \delta }}^N \frac{1}{n^2 \| n/\pi \|} \geqslant \frac{1}{\pi \delta} \underset{\delta \to 0^+}{\longrightarrow} + \infty.$$
On peut éventuellement contourner le problème en multipliant $n$ par un irrationnel. Par exemple
$$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3 \sin( n \pi \sqrt 2)} = - \frac{13 \pi^3}{360 \sqrt 2}.$$
Pour cette série, voir par exemple [functions.wolfram.com].
Dom
Re: Nature d’une série
il y a sept mois
Bonjour,

Je m’y connais très mal en intégrale...mais n’est-il pas possible de comparer sur des intervalles choisis (quand $n$ est aussi grand qu’on veut) le terme général avec son intégrale ?
Sait-on « primitiver » ou estimer $x\mapsto \frac{1}{x^2 \sin (x)}$ sur des intervalles convenablement choisis ?

@noix de toto
Tu suggères « d’irrationaliser » les choses mais, tu mets aussi de l’exposant $3$ au lieu du $2$.
Qu’ai-je mal compris ?


Cordialement
Re: Nature d’une série
il y a sept mois
Non l'exposant $3$ est celle de la série que j'ai trouvé sur le net. Il n'y a pas l'équivalent avec l'exposant $2$, du moins pas à ma connaissance. Quant à comparer avec une intégrale, tu ne pourras pas échapper à intégrer sur des intervalles pour lesquels $\| x/\pi \|$ est très petite.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a sept mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par noix de totos.
Dom
Re: Nature d’une série
il y a sept mois
Ha d’accord.

Pour la comparaison avec intégrale, oui, je pensais qu’on pouvait obtenir des approximations plus fines qu’avec des « choses discrètes ».
En vue de démontrer la convergence/divergence de la série.

À plus tard.
Re: Nature d’une série
il y a sept mois
Bonjour,

Pour la série avec $\pi\sqrt 2$, en passant par la mesure d'irrationalité de $\sqrt 2$, tout exposant $>2$ suffit pour montrer une convergence absolue de la série.

En fait, il me semble (je vérifierai) avoir vu dans un livre d'exercices que $>1$ suffit pour la convergence absolue.
Ça passait par des estimations très difficiles à obtenir de $\sum_{2^n+1\le k\le 2^{n+1}}1/|\sin (k\pi\sqrt 2)|$ ou quelque chose qui y ressemblait.

Post publication

Ref : problèmes d'analyse réelle, édition cassini (traduit du russe, donc éventuelles coquilles de traduction)
La série $\sum \frac{1}{n^a|\sin(\pi\sqrt 2 n) |} $ est convergente pour $a>1$
Le corrigé montre un résultat plus fort :

Soit $\alpha$ irrationnel qui n'est pas un nombre de Liouville ie qu'il existe $\delta, \sigma >0$ tels que $|\alpha-m/n|\ge \delta/n^{\sigma}$ pour toute fraction $m/n, m\in Z, n\in N^{*}$
Alors la série $\sum \frac{1}{n^a|\sin(\pi\alpha n) |} $ est convergente pour $a>\sigma-1$ et conclut avec $\sigma=2$ pour $\alpha=\sqrt 2$

La demontration utilise l'inégalité suivante : soit $S_{N}(\alpha) =\sum_{N/2<n\le N} \frac{1}{|sin(\pi\alpha n)|} $ alors $S_{N}(\alpha)\le 4\frac{N^{\alpha-1}}{\delta} min(\frac{\sigma-1}{\sigma-2}, \ln(N^{\sigma-1}/\delta))$
En sommant par paquet $2^k<n\le 2^{k+1}$ l'inégalité permet de conclure.

La démonstration de cette inégalité est difficile à obtenir et utilise entre autre un autre résultat difficile qui fait l'objet d'un autre exercice qui montre que : les indices $n$ tels que $x_n=min_{m\in Z} |\alpha-m/n|$ est de l'ordre de $n^{-\sigma}$ sont rares (ils croissent plus vite qu'une suite géométrique).

Si on revient à la question du post : la série est absolument convergente si $2>mes(1/\pi)-1$
Donc si la mesure d'irrationalité de $1/\pi$ est strictement inférieure à $3$ la série est absolument convergente.



Edité 2 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a sept mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par side.
Re: Nature d’une série
il y a sept mois
avatar
Bonjour,

Donc on a montré que la série diverge en valeur absolue.

Sait-on montrer que la limite du terme général est nulle à l’infini ? Si elle est nulle pour la valeur absolue alors elle est nulle ; c’est une simplification car on garde un signe constant.
Re: Nature d’une série
il y a sept mois
Comme je l'ai dit plus haut, le fait que $1/(n^2 \sin n)$ tende vers 0 à l'infini est un problème ouvert.
Re: Nature d’une série
il y a sept mois
avatar
Héhé et le fait que 1/(n\sin(n)) tend vers 0 ou non est-il-aussi ouvert ?, car remarque était convaincu d'une preuve effacée par son auteur. [www.les-mathematiques.net]

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[Le meilleur moyen de fuir le monde est de pénétrer les mathématiques ]



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a sept mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par gebrane.
MrJ
Re: Nature d’une série
il y a sept mois
J’ai trouvé ce document sur la suite de terme général $n\sin(n)$ dans les entrailles du forum : Lien.

On en déduit que la suite de terme général $\frac{1}{n \sin(n)}$ ne converge pas vers $0$.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a sept mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par MrJ.
Re: Nature d’une série
il y a sept mois
@MrJ: merci pour le lien, peut-on en déduire que la série de terme général $\frac{1}{n \sin(n)}$ ne converge pas ?
Dom
Re: Nature d’une série
il y a sept mois
Et oui !
Ça ne converge pas vers $0$ donc la série ne converge pas.

Remarque : par contre la suite des sommes partielles peut très bien être bornée (comme la série des $(-1)^n$).
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