Nature d’une série

YvesM
YvesM
dans Analyse
Bonjour,

Je me demande quelle est la nature de la série $\displaystyle \sum_{ n\geq 1} {1\over n^2 \sin n}$ ?

Je n’arrive à rien...

Réponses

  • gebrane
    gebrane
    Tu peux quand même prouver que le terme général de la série tend vers 0
    Ta série me semble-t-il est déjà traitée sur ce Forum
    Le 😄 Farceur


  • Gon
    Gon
    @gebrane , même si le terme général de la série tend vers $0$ , cela ne signifie pas qu’il y a convergence de la série ... si je ne me trompe pas 8-). L’exemple de la série harmonique est un exemple.
  • gebrane
    gebrane
    Attien, YvesM a dit Je n’arrive à rien...

    Il peut commencer par ce point qui n'est pas si simple. À travers ce point, on voit la complexité de la chose.
    Le 😄 Farceur


  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    Je n’arrive pas à montrer que le terme tend vers zéro à l’infini (si c’est le cas). Je veux bien une référence.
  • Héhéhé
    Héhéhé
    Apparemment, même le fait que
    $$\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n^2 \sin n}=0$$
    est un problème ouvert, si on en croit ce lien.
  • gebrane
    gebrane
    Voici une référence edit https://math.stackexchange.com/questions/2998694/does-this-sequence-an-frac1n3-sinn-converge d'un problème similaire 1/(n^3sin n), la nature de la suite semble ouverte. Dans ce lien, ça dit que la serie des 1/(n^7 sin n) converge
    Une autre référence http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,523849,524227#msg-524227 sur la suite 1/nsin(n) ou on démontre que la suite ne peut pas tendre vers 0 mais il "faut" que AD rétablisse le message effacé de qg77

    [Ce n'est malheureusement pas possible. Discussion trop ancienne. :-( AD]
    Le 😄 Farceur


  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    Pourtant, graphiquement, les séries partielles semblent converger sans problème.
  • totem
    totem
    Et $\displaystyle \sum_{ n\geq 1} {1\over n \sin n}$ ?
  • jean lismonde
    jean lismonde
    bonjour

    empiriquement on constate la convergence de ta série en effet :

    $\Sigma_1^{1000}\frac{1}{n^2sin(n)} = 1,640796619...$

    si on arrêtait la somme à n = 100 on obtiendrait un résultat très proche

    d'autre part : $\Sigma_1^{1000}\frac{1}{n^2} = 1,643934567....$ résultat proche du premier

    comme si finalement le sinus pesait peu dans la convergence
    ce phénomène s'explique par le fait que l'alternance de signe du sinus est régulière (tous les 3 ou 4 termes)
    et donc il existe une compensation dans la sommation entre les termes positifs et les termes négatifs

    le premier résultat est d'ailleurs proche du résultat de la somme à l'infini (série harmonique des n²) soit $\frac{\pi^2}{6} = 1,644934067...$

    cordialement
  • gerard0
    gerard0
    Le problème est qu'il peut y avoir des $n$ tels que $|\sin(n)|<\frac 1 {n^4}$ qui font brutalement augmenter la somme partielle de plus de $n^2$. Même s'il n'y en a pas pour des valeurs faibles de $n$, apparemment.

    Cordialement.
  • Héhéhé
    Héhéhé
    C'est effectivement lié à la mesure d'irrationalité de $\pi$.
  • noix de totos
    noix de totos
    Comme le disent les intervenants ci-dessus, on va avoir un problème chaque fois que la distance de $n/\pi$ à son entier le plus proche, notée $\| n/\pi \|$, est proche de $0$ : soit $\delta \in \left] 0 , \frac{1}{2} \right]$ et $N \geqslant 1$ entier. Alors
    $$\sum_{n=1}^N \frac{1}{n^2 \left| \sin n \right|} \geqslant \frac{1}{\pi} \sum_{n=1}^N \frac{1}{n^2 \| n/\pi \|} \geqslant \frac{1}{\pi} \sum_{\substack{n=1 \\ \| n/\pi \| \leqslant \delta }}^N \frac{1}{n^2 \| n/\pi \|} \geqslant \frac{1}{\pi \delta} \underset{\delta \to 0^+}{\longrightarrow} + \infty.$$
    On peut éventuellement contourner le problème en multipliant $n$ par un irrationnel. Par exemple
    $$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3 \sin( n \pi \sqrt 2)} = - \frac{13 \pi^3}{360 \sqrt 2}.$$
    Pour cette série, voir par exemple http://functions.wolfram.com/ElementaryFunctions/Csc/23/02/.
  • Dom
    Dom
    Bonjour,

    Je m’y connais très mal en intégrale...mais n’est-il pas possible de comparer sur des intervalles choisis (quand $n$ est aussi grand qu’on veut) le terme général avec son intégrale ?
    Sait-on « primitiver » ou estimer $x\mapsto \frac{1}{x^2 \sin (x)}$ sur des intervalles convenablement choisis ?

    @noix de toto
    Tu suggères « d’irrationaliser » les choses mais, tu mets aussi de l’exposant $3$ au lieu du $2$.
    Qu’ai-je mal compris ?


    Cordialement
  • noix de totos
    noix de totos
    Non l'exposant $3$ est celle de la série que j'ai trouvé sur le net. Il n'y a pas l'équivalent avec l'exposant $2$, du moins pas à ma connaissance. Quant à comparer avec une intégrale, tu ne pourras pas échapper à intégrer sur des intervalles pour lesquels $\| x/\pi \|$ est très petite.
  • Dom
    Dom
    Ha d’accord.

    Pour la comparaison avec intégrale, oui, je pensais qu’on pouvait obtenir des approximations plus fines qu’avec des « choses discrètes ».
    En vue de démontrer la convergence/divergence de la série.

    À plus tard.
  • side
    side
    supp
  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    Donc on a montré que la série diverge en valeur absolue.

    Sait-on montrer que la limite du terme général est nulle à l’infini ? Si elle est nulle pour la valeur absolue alors elle est nulle ; c’est une simplification car on garde un signe constant.
  • Héhéhé
    Héhéhé
    Comme je l'ai dit plus haut, le fait que $1/(n^2 \sin n)$ tende vers 0 à l'infini est un problème ouvert.
  • gebrane
    gebrane
    Héhé et le fait que 1/(n\sin(n)) tend vers 0 ou non est-il-aussi ouvert ?, car remarque était convaincu d'une preuve effacée par son auteur. http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,523849,524227#msg-524227
    Le 😄 Farceur


  • MrJ
    MrJ
    J’ai trouvé ce document sur la suite de terme général $n\sin(n)$ dans les entrailles du forum : Lien.

    On en déduit que la suite de terme général $\frac{1}{n \sin(n)}$ ne converge pas vers $0$.
  • totem
    totem
    @MrJ: merci pour le lien, peut-on en déduire que la série de terme général $\frac{1}{n \sin(n)}$ ne converge pas ?
  • Dom
    Dom
    Et oui !
    Ça ne converge pas vers $0$ donc la série ne converge pas.

    Remarque : par contre la suite des sommes partielles peut très bien être bornée (comme la série des $(-1)^n$).
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.

Bonjour!

Pour participer au forum, cliquer sur l'un des boutons :

Connexion S'inscrire

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 3

AmadouMatricule_63 +1 Invité