$\begin{equation}
u: C^{\infty}_c ([0,1], ||.|| ) \longrightarrow \mathbb{R} \nonumber \\
||u||_{E}=\sqrt{\int_0^1 u(x)^2 dx +\int_0^1 (u'(x))^2 dx }
\end{equation}$
L'espace $C^{\infty}_c $ est il une norme pour la norme $E$?
$\forall x\in [0,1], ~~~ ||u||_E \geq 0$; car $u(x)\geq 0$ et $u'(x)\geq 0$ par définition de racine. (
positivité)
$\forall x\in [0,1],~~~||u||_E=0 ~~ \Leftrightarrow $
$
\int_0^1(u)^2 = 0 ~~ \Rightarrow u =0$, car $(u)^2>0.$
de même
$\int_0^1(u')^2 = 0 \Longrightarrow u' =0$, car $(u')^2>0$.
Donc, $||u||_{E}=0 \Longrightarrow u=0 $ ($||.||_E$ est
définie).
$\forall x\in [0,1], ~~\forall \lambda \in \mathbb{R},~~~,|| \lambda u||_E=|\lambda| || u||_E ~~$, triviale (
homogénéité)
$\forall x\in [0,1],~~~ \forall~u,~v \in C^{\infty}_c ([0,1])~$ on a
\begin{eqnarray}
||u+v||_{E} &=& \sqrt{\int_0^1 (u+v)^2 dx +\int_0^1 (u'+v')^2 dx } \nonumber \\
&=& \sqrt{\int_0^1 (u^2+v^2 +2 uv ) +\int_0^1 (~ (u')^2+(v')^2 +2u'v'~) } \nonumber \\
&=& \sqrt{\int_0^1 u^2+\int_0^1 v^2 +2\int_0^1 uv ) +\int_0^1 ~ (u')^2+\int_0^1 (v')^2 +2\int_0^1 u'v' } \nonumber \\
&\leq & \sqrt{\| u\|^2_{L^2}+\|v\|^2_{L^2} +2\|u\|_{L^2} \|v\|_{L^2} + \| u'\|^2_{L^2}+\|v'\|^2_{L^2} +2\|u'\|_{L^2} \|v'\|_{L^2} }\\
&&\text{après réarrangement on obtient} \nonumber \\
&\leq & \sqrt{ (\| u\|_{L^2}+ \|v\|_{L^2} )^2 +( \| u'\|_{L^2} +\|v'\|_{L^2})^2} \nonumber \\
&&\forall a,b\geq 0;~~\sqrt{a^2+b^2}\leq \sqrt{(a+b)^2} \nonumber \\
&\leq & \sqrt{ (\| u\|_{L^2}+ \|v\|_{L^2} )^2 } +\sqrt{ (\| u'\|_{L^2} +\|v'\|_{L^2})^2} \nonumber \\
&\leq & \| u\|_{L^2}+ \|v\|_{L^2} + \| u'\|_{L^2} +\|v'\|_{L^2} \\
&\leq & \| u\|_{L^2}+ \| u'\|_{L^2} + \|v\|_{L^2}+\|v'\|_{L^2} \\
||u+v||_{E} &\leq & \| u\|_E+ \| v\|_E ~~~~\textbf{inégalité triangulaire}
\end{eqnarray} On en conclut que $u\in C^{\infty}_c[0,1]$ est une norme sur $\|.\|_E$.
On remarque que $E=H^1_0$.
$ C^{\infty}_c([0,1])$ est il complet ?
C'est là où je me bloque.
Je pense que cette fois c
'est clair.
Merci pour votre patience.
Shaima
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