Espace de fonctions continues
Bonjour
Je vous remercie d'avance pour le temps [que] vous consacrer à lire et à répondre.
Après avoir montrer que $C^{\infty}_c[0,1]$ est une norme sur $\|\cdot\|_E$ où $E=H^1_0$.
$ C^{\infty}_c([0,1])$ est il complet ?
$C^{\infty}_c([0,1])$ est dense dans $L^p$ pour $1\leq p < \infty$. Donc $ C^{\infty}_c([0,1])$ n'est pas complet (corollaire dans le livre de Haim Brezis).
Sauf qu'on me demande de répondre à cette question sans utiliser la convolution et la théorie de distribution.
Mon souci est de construire une suite de Cauchy qui ne converge pas.
Shaima
Je vous remercie d'avance pour le temps [que] vous consacrer à lire et à répondre.
Après avoir montrer que $C^{\infty}_c[0,1]$ est une norme sur $\|\cdot\|_E$ où $E=H^1_0$.
$ C^{\infty}_c([0,1])$ est il complet ?
$C^{\infty}_c([0,1])$ est dense dans $L^p$ pour $1\leq p < \infty$. Donc $ C^{\infty}_c([0,1])$ n'est pas complet (corollaire dans le livre de Haim Brezis).
Sauf qu'on me demande de répondre à cette question sans utiliser la convolution et la théorie de distribution.
Mon souci est de construire une suite de Cauchy qui ne converge pas.
Shaima
Réponses
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chaima ecrivait
Après avoir montrer que $C^{\infty}_c[0,1]$ est une norme sur $\|\cdot\|_E$ où $E=H^1_0$
Stp explique moi comment tu démontres qu'un espace est une norme sur une norme?Le 😄 Farceur -
À mon avis, il y a eu une inversion, l'énoncé correct étant probablement
"Après avoir montré que $\|.\|_E$ est une norme sur $C^\infty_c( ]0,1[ )$". -
Tryss, C'est ma façon de lui dire de soigner la rédaction d'une questionLe 😄 Farceur
-
D'autant que l'affirmation de la densité de l'espace dans les $L^p $, sans préciser la norme, ne donne pas directement la non-complétude pour la norme imposée.
-
Je voulais dire après avoir montrer que c'est un espace vectoriel normé de $H^1_0$,
il faut montrer qu'elle n'est pas complète. -
Shaima écrivait : il faut montrer qu'elle n'est pas complète.
C'est qui elle , la norme ?( l'espace est un le), donc on doit démontrer que la norme n'est pas complète?Le 😄 Farceur -
$\begin{equation}
u: C^{\infty}_c ([0,1], ||.|| ) \longrightarrow \mathbb{R} \nonumber \\
||u||_{E}=\sqrt{\int_0^1 u(x)^2 dx +\int_0^1 (u'(x))^2 dx }
\end{equation}$
L'espace $C^{\infty}_c $ est il une norme pour la norme $E$?
$\forall x\in [0,1], ~~~ ||u||_E \geq 0$; car $u(x)\geq 0$ et $u'(x)\geq 0$ par définition de racine. (positivité)
$\forall x\in [0,1],~~~||u||_E=0 ~~ \Leftrightarrow $
$
\int_0^1(u)^2 = 0 ~~ \Rightarrow u =0$, car $(u)^2>0.$
de même
$\int_0^1(u')^2 = 0 \Longrightarrow u' =0$, car $(u')^2>0$.
Donc, $||u||_{E}=0 \Longrightarrow u=0 $ ($||.||_E$ est définie).
$\forall x\in [0,1], ~~\forall \lambda \in \mathbb{R},~~~,|| \lambda u||_E=|\lambda| || u||_E ~~$, triviale (homogénéité)
$\forall x\in [0,1],~~~ \forall~u,~v \in C^{\infty}_c ([0,1])~$ on a
\begin{eqnarray}
||u+v||_{E} &=& \sqrt{\int_0^1 (u+v)^2 dx +\int_0^1 (u'+v')^2 dx } \nonumber \\
&=& \sqrt{\int_0^1 (u^2+v^2 +2 uv ) +\int_0^1 (~ (u')^2+(v')^2 +2u'v'~) } \nonumber \\
&=& \sqrt{\int_0^1 u^2+\int_0^1 v^2 +2\int_0^1 uv ) +\int_0^1 ~ (u')^2+\int_0^1 (v')^2 +2\int_0^1 u'v' } \nonumber \\
&\leq & \sqrt{\| u\|^2_{L^2}+\|v\|^2_{L^2} +2\|u\|_{L^2} \|v\|_{L^2} + \| u'\|^2_{L^2}+\|v'\|^2_{L^2} +2\|u'\|_{L^2} \|v'\|_{L^2} }\\
&&\text{après réarrangement on obtient} \nonumber \\
&\leq & \sqrt{ (\| u\|_{L^2}+ \|v\|_{L^2} )^2 +( \| u'\|_{L^2} +\|v'\|_{L^2})^2} \nonumber \\
&&\forall a,b\geq 0;~~\sqrt{a^2+b^2}\leq \sqrt{(a+b)^2} \nonumber \\
&\leq & \sqrt{ (\| u\|_{L^2}+ \|v\|_{L^2} )^2 } +\sqrt{ (\| u'\|_{L^2} +\|v'\|_{L^2})^2} \nonumber \\
&\leq & \| u\|_{L^2}+ \|v\|_{L^2} + \| u'\|_{L^2} +\|v'\|_{L^2} \\
&\leq & \| u\|_{L^2}+ \| u'\|_{L^2} + \|v\|_{L^2}+\|v'\|_{L^2} \\
||u+v||_{E} &\leq & \| u\|_E+ \| v\|_E ~~~~\textbf{inégalité triangulaire}
\end{eqnarray} On en conclut que $u\in C^{\infty}_c[0,1]$ est une norme sur $\|.\|_E$.
On remarque que $E=H^1_0$.
$ C^{\infty}_c([0,1])$ est il complet ? C'est là où je me bloque.
Je pense que cette fois c'est clair.
Merci pour votre patience.
Shaima -
Je dis peut-être une connerie, mais je crois que ce n'est pas complet et propose donc de partir sur un contre-exemple. Je pense qu'on peut chercher des séries de fonctions de classe $C^\infty$ convergeant vers une fonction $f$ et dont la série des dérivées converge uniformément vers la série dérivée de $f$, sachant que $f$ est de classe $C^1$ mais pas $C^2$. Je n'ai pas tenté le coup (et ne peux donc jurer que la série des dérivées converge uniformément), mais peut-être que la série de Fourier de la fonction $f$ avec $f(x)=0$ pour $x\in [0, 0.5]$ et $f(x)=(x-0.5)^2$ au-delà ferait l'affaire.
-
Tu dis "On remarque que $E=H^1_0$. ", mais quelle est ta définition de $H^1_0$ ?
-
$H^1_0([0,1])=\{u\in L^2[0,1],\ u'\in L^2[0,1] \mid u(1)=u(0)=0\} $
-
A priori, cette définition n'a pas de sens, les fonctions de $L^2$ n'étant définies que presque partout.
-
$H^1_0([0,1])=\{v\in H^1([0,1]),\ \exists (v_n)_{n\in \mathbb{N}} \in C^{\infty}_c([0,1]~ \text{telle que}~ \lim_{n\to +\infty} \|v_n - v\|_{H^1([0,1])} =0\} $
-
Merci pour ce prise de conscience.
Le remarque ici, n'a pas de sens. -
Du coup, avec cette définition de $H^1_0$, si $C^\infty_c(]0,1[)$ était complet pour la norme de $H^1$, qu'est-ce que ça impliquerait ?
-
Je pense que je dis de connerie.
Si $C^1_c(]0,1[)$ était complet, elle serait égale à $H^1$ -
Pas à $H^1$ a priori, mais plutôt à $H^1 _0 $ qui est un sous-espace fermé de $H^1 $pour la norme $\| . \| _E $, et en fait l'adhérence de $C^{\infty } _c $, parce qu'on peut voir (exrcice à faire) que la valeur en un point d'une fonction de $H^1 $ (d'un intervalle réel, c'est faux en grande dimension), est bien définie (et donne une forme linéaire continue sur $H^1 $).
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