Espace à poids

L'idée d'un espace à poids est de prendre une norme et de la pondérer par une fonction. Par exemple, si on considère la norme $\| \cdot \|_{\infty}$ sur $\mathcal C^\infty(\Omega)$ où un ouvert $\Omega \subset \mathbb R^d$:
$$ \| u \|_\infty := \sup_{x \in \Omega} \vert u(x) \vert$$
alors sa "version à poids" consiste à prendre une fonction $\kappa$ sur $\Omega$:
$$ \| u \|_{\infty,\kappa}:= \sup_{x \in \Omega} \vert \kappa(x) u(x) \vert.$$
Par exemple, un cas que l'on voit souvent: $\Omega = \mathbb R$ et $\kappa = 1/(1+x^2)$.

Le fait que le domaine soit borné ou non n'intervient pas ici.

On peut faire la même chose avec d'autres normes, la norme $L^2$, mais aussi les normes de Sobolev...