Borne supérieure, borne inférieure

Oui oui je viens de voir mon erreur, c'est juste maintenant (je crois bien) dans la rédaction, j'ai oublié de raisonner avec les ensembles aussi, en effet si $A$ et $B$ son non vides et bornés avec $A \subset B$ alors $\sup(A)\leq \sup(B)$ de même avec $\inf$, on a $\inf(B)\leq \inf(A)$.

Bonsoir à tous, je bloque sur la manière de démontrer rigoureusement sans l'utilisation de suites que :

$B=\{1-\frac{1}{m} -\frac{1}{n} \mid m,n\in \mathbb{Z^{*}} \}$ admet une borne inf et une borne sup

Voilà mon raisonnement.
Soit $m$ et $n$ $\in \mathbb{Z^{*}}$
Si $m ,n > 0$ : pour $m=n=1$ , on a $-2\in B$ , donc $B$ est non vide.
on sait que $\frac{1}{m} > 0$ et $\frac{1}{n} > 0$ , donc $-(\frac{1}{m}+\frac{1}{n}) \leq 0$ , ainsi on a $1-(\frac{1}{m}+\frac{1}{n}) \leq 1$.
Ainsi $B$ est majorée par 1.
Comme $B$ est non vide et majorée, d'après l’axiome de la borne supérieure, $B$ admet une borne sup notée $\sup(B)$.
Le problème , est comment montrer que $\sup(B)=1$, j'ai voulu utiliser le fait que $\mathbb{R}$ soit archimédien, mais sans rien...



Pour le cas $m$ et $n$ sont de signes différents, je n'obtiens rien d'extra donc, si vous pouvez me donner une indication.
Merci pour vos différentes réponses.

Voici celui de la borne inf dans le cas où $m,n<0$.

@Poirot merci , je viens de m’apercevoir de cette grosse erreur de ma part :-o.
En effet j’avais fait une confusion avec cette manière de définir un ensemble, $A=\{x,p(x)\}$ où P est une propriété vérifiée par x .

@GG merci à toi ,on peut bien se passer de cette démarche comme tu l’as dit .

Je crois que travailler très tard dans la nuit mêla mes neurones :-?

Cordialement.

Bonjour à tous, aujourd'hui avec un peu de recul, j'ai pu comprendre, toute cette histoire d'utilisation des suites, en réalité, l'on s’appuie en grande partie sur la caractérisation de la borne supérieure et de la borne inférieure.
Cordialement.