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f n'admet pas de limite en 0

Envoyé par darbouka 
f n'admet pas de limite en 0
il y a trois mois
Bonjour,
Quelqu'un aurait-il un indice (sans me donner directement la réponse) pour montrer que la fonction $f(x) = 3x^2\sin(\frac {1}{x^2})-2\cos(\frac {1} {x^2})$ n'admet pas de limite en zéro ?



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par AD.
Dom
Re: f n'admet pas de limite en 0
il y a trois mois
Le premier terme (avant le « – ») a-t-il une limite en $0$ ?

Le second terme (après le « – ») ?
Re: f n'admet pas de limite en 0
il y a trois mois
Le sinus étant borné par -1 et 1, on peut montrer que le terme $3x^2\sin(\frac {1}{x^2})$ tend vers 0 lorsque $x$ tend vers 0 avec le théorème de gendarmes, là ça ne me pose pas de problème.
Par contre pour le terme $2\cos(\frac {1} {x^2})$, intuitivement je sens bien qu'il ne converge pas, mais c'est là où je ne trouve pas d'argument pour le prouver rigoureusement.
Ah, je viens d'avoir une idée : je vais essayer avec deux sous-suites qui tendent vers 0 mais qui donneront deux limites différentes par passage au cosinus. Je vais me lancer là-dessus...



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par AD.
Dom
Re: f n'admet pas de limite en 0
il y a trois mois
Tout va bien !
Tu vas trouver.
Re: f n'admet pas de limite en 0
il y a trois mois
C'est bon, j'ai trouvé; avec la suite $v_{n}=\sqrt{ \frac{2}{n \pi}}$ et en utilisant les sous-suites d'indice pair et d'indice impair, ça me donne deux limites différentes, et donc ça ne converge pas en 0.
Par curiosité, y a-t-il une autre méthode pour montrer que cette fonction n'admet pas de limite en 0?
Dom
Re: f n'admet pas de limite en 0
il y a trois mois
Voilà, tu as trouvé.
Non je ne vois pas autre chose ici.

Remarque :
Je trouve quatre trois limites avec la suite que tu as choisie.
La sous-suite des termes pairs donnent deux valeurs d’adhérences pour le cosinus qui sont -1 et 1 (donc cela montre qu’il n’y a pas de limite).
La sous-suite des termes impairs donne 0 comme limite pour le cosinus.

Si toutefois je ne me suis pas emmêlé les pinceaux.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par Dom.
Re: f n'admet pas de limite en 0
il y a trois mois
avatar
Par changement de variables y=1/x^2 pour le terme x\to cos(1/x^2) ?

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[Le meilleur moyen de fuir le monde est de pénétrer les mathématiques ]
Re: f n'admet pas de limite en 0
il y a trois mois
@ Dom, oui, effectivement il y a 3 limites comme tu le signales. Merci de ton aide.

@ Gebrane, j'ai essayé ton changement de variables, et j'aimerais ton avis sur ma manière de rédiger.
Posons $y=\frac{1}{x^2}$.
Lorsque $x$ tend vers 0, $y$ tend vers $+\infty$, et on a donc:
$\lim_{x\rightarrow 0} \cos(\frac{1}{x^2}) = \lim_{y\rightarrow +\infty} \cos(y)$, or la fonction cosinus ne possède pas de limite en $+\infty$ car elle est périodique : $\cos(\frac{1}{x^2})$ n'admet donc pas de limite en $0$.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par AD.
Re: f n'admet pas de limite en 0
il y a trois mois
avatar
Il manque seulement de dire périodique non constante

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[Le meilleur moyen de fuir le monde est de pénétrer les mathématiques ]
Re: f n'admet pas de limite en 0
il y a deux mois
@Gebrane, OK, merci pour ton aide.
Re: f n'admet pas de limite en 0
il y a deux mois
bonjour darbouka

tu considères la fonction g définie par : $g(x) = x^2.sin\frac{1}{x}$ avec x variable réelle

g(x) prend la valeur 0 lorsque x tend vers 0 (il suffit d'encadrer $- x^2 < g(x) < x^2$ et faire tendre x vers 0)

g est fonction continue, dérivable

en particulier on peut déterminer $g'(0)$ avec la limite du rapport $\frac{g(x) - g(0)}{x - 0} = x.sin\frac{1}{x}$ lorsque x tend vers 0

or ce rapport tend vers 0 par le même raisonnement que pour la détermination de $g(0)$

soit l'encadrement $- x < x.sin\frac{1}{x} < x$ qui permet de dire que $g'(0) = 0$

et l'expression en fonction de x, de la dérivée de g est aisée à calculer (dérivée d'un produit) :

$$g'(x) = 2x.sin\frac{1}{x} - cos\frac{1}{x}$$

si $g'(0) = 0$ cela signifie forcément que la limite de $cos\frac{1}{x}$ lorsque x tend vers 0 est nulle

tu en déduis quoi pour la limite de ton expression $-2cos\frac{1}{x^2}$ lorsque x tend vers 0 ?

cordialement
Re: f n'admet pas de limite en 0
il y a deux mois
avatar
Notre Cher jean Lismonde
Reconnaîtras-tu ton erreur ?
On a le résultat suivant
Citation
Cour L1
Soit f une fonction continue sur [a,b] et dérivable sur ]a,b[ . Si $\lim_{x\rightarrow a}f'(x)$ existe , alors f est derivable en a et $f'(a)=\lim_{x\rightarrow a}f'(x)$

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[Le meilleur moyen de fuir le monde est de pénétrer les mathématiques ]
Re: f n'admet pas de limite en 0
il y a deux mois
@gebrane : au fond ça n'a pas grand-chose à voir avec l'erreur de jean lismonde, tu n'es pas en train d'affirmer que la réciproque est fausse (mais elle l'est !). Encore une arnaque de JL pour dire que $\cos$ admet une limite en $+\infty$...
Re: f n'admet pas de limite en 0
il y a deux mois
avatar
Poirot
Si $f'(a)$ existe , prouve moi que $\lim_{x\rightarrow a}f'(x)$ existe et vaut $f'(a)$ je te rappelle que f' n'est as nécessairement continue et c'est l'erreur de J-L. Relis bien son raisonnement.

edit Je résume le raisonnement de JL, Il a considéré le g
-Il démontre que g est dérivable g'(0)=0
-il calcule g'
- il déduit que $\lim_{x\rightarrow a}g'(x)=0$
-Il déduit une énormité
Si je suis dans l'erreur, j'accepte qu'on me corrige.

Je rappelle que j'ai cité un théorème et je n'ai pas parlé de réciproque mais J-L l'a utilisé à sa façon !

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[Le meilleur moyen de fuir le monde est de pénétrer les mathématiques ]



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par gebrane.
Re: f n'admet pas de limite en 0
il y a deux mois
C'est bien le raisonnement de JL. Je te dis simplement que ce n'est pas parce qu'un énoncé te dit "si A alors B" que l'énoncé "si B alors A" est faux. Je te faisais simplement une remarque sur la forme de ta critique à JL. Tu aurais mieux fait de lui dire directement "tu sais qu'une dérivée n'a aucune raison d'être continue ?".
Dom
Re: f n'admet pas de limite en 0
il y a deux mois
Bonsoir,

Je comprends ce que dit Poirot.
En étant trop énigmatique, on trouble le message et ça n’aide pas toujours.
Cela m’est arrivé, je ne donne pas de leçon.

Cordialement

Dom
Re: f n'admet pas de limite en 0
il y a deux mois
avatar
Effectivement , j'aurais lui dire... smiling smileyMaintenant je lui dit:
Cher Jean lismonde "tu sais qu'une dérivée n'a aucune raison d'être continue ?"

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