f n'admet pas de limite en 0

darbouka · August 2019

Bonjour,
Quelqu'un aurait-il un indice (sans me donner directement la réponse) pour montrer que la fonction $f(x) = 3x^2\sin(\frac {1}{x^2})-2\cos(\frac {1} {x^2})$ n'admet pas de limite en zéro ?

Dom · August 2019

Le premier terme (avant le « – ») a-t-il une limite en $0$ ?

Le second terme (après le « – ») ?

darbouka · August 2019

Le sinus étant borné par -1 et 1, on peut montrer que le terme $3x^2\sin(\frac {1}{x^2})$ tend vers 0 lorsque $x$ tend vers 0 avec le théorème de gendarmes, là ça ne me pose pas de problème.
Par contre pour le terme $2\cos(\frac {1} {x^2})$, intuitivement je sens bien qu'il ne converge pas, mais c'est là où je ne trouve pas d'argument pour le prouver rigoureusement.
Ah, je viens d'avoir une idée : je vais essayer avec deux sous-suites qui tendent vers 0 mais qui donneront deux limites différentes par passage au cosinus. Je vais me lancer là-dessus...

Dom · August 2019

Tout va bien !
Tu vas trouver.

darbouka · August 2019

C'est bon, j'ai trouvé; avec la suite $v_{n}=\sqrt{ \frac{2}{n \pi}}$ et en utilisant les sous-suites d'indice pair et d'indice impair, ça me donne deux limites différentes, et donc ça ne converge pas en 0.
Par curiosité, y a-t-il une autre méthode pour montrer que cette fonction n'admet pas de limite en 0?

Dom · August 2019

Voilà, tu as trouvé.
Non je ne vois pas autre chose ici.

Remarque :
Je trouve quatre trois limites avec la suite que tu as choisie.
La sous-suite des termes pairs donnent deux valeurs d’adhérences pour le cosinus qui sont -1 et 1 (donc cela montre qu’il n’y a pas de limite).
La sous-suite des termes impairs donne 0 comme limite pour le cosinus.

Si toutefois je ne me suis pas emmêlé les pinceaux.

gebrane · August 2019

Par changement de variables y=1/x^2 pour le terme x\to cos(1/x^2) ?

darbouka · August 2019

@ Dom, oui, effectivement il y a 3 limites comme tu le signales. Merci de ton aide.

@ Gebrane, j'ai essayé ton changement de variables, et j'aimerais ton avis sur ma manière de rédiger.
Posons $y=\frac{1}{x^2}$.
Lorsque $x$ tend vers 0, $y$ tend vers $+\infty$, et on a donc:
$\lim_{x\rightarrow 0} \cos(\frac{1}{x^2}) = \lim_{y\rightarrow +\infty} \cos(y)$, or la fonction cosinus ne possède pas de limite en $+\infty$ car elle est périodique : $\cos(\frac{1}{x^2})$ n'admet donc pas de limite en $0$.

gebrane · August 2019

Il manque seulement de dire périodique non constante

darbouka · August 2019

@Gebrane, OK, merci pour ton aide.

jean lismonde · August 2019

bonjour darbouka

tu considères la fonction g définie par : $g(x) = x^2.sin\frac{1}{x}$ avec x variable réelle

g(x) prend la valeur 0 lorsque x tend vers 0 (il suffit d'encadrer $- x^2 < g(x) < x^2$ et faire tendre x vers 0)

g est fonction continue, dérivable

en particulier on peut déterminer $g'(0)$ avec la limite du rapport $\frac{g(x) - g(0)}{x - 0} = x.sin\frac{1}{x}$ lorsque x tend vers 0

or ce rapport tend vers 0 par le même raisonnement que pour la détermination de $g(0)$

soit l'encadrement $- x < x.sin\frac{1}{x} < x$ qui permet de dire que $g'(0) = 0$

et l'expression en fonction de x, de la dérivée de g est aisée à calculer (dérivée d'un produit) :

$$g'(x) = 2x.sin\frac{1}{x} - cos\frac{1}{x}$$

si $g'(0) = 0$ cela signifie forcément que la limite de $cos\frac{1}{x}$ lorsque x tend vers 0 est nulle

tu en déduis quoi pour la limite de ton expression $-2cos\frac{1}{x^2}$ lorsque x tend vers 0 ?

cordialement

gebrane · August 2019

Notre Cher jean Lismonde
Reconnaîtras-tu ton erreur ?
On a le résultat suivant

Cour L1 a écrit:

Soit f une fonction continue sur [a,b] et dérivable sur ]a,b[ . Si $\lim_{x\rightarrow a}f'(x)$ existe , alors f est derivable en a et $f'(a)=\lim_{x\rightarrow a}f'(x)$

Poirot · August 2019

@gebrane : au fond ça n'a pas grand-chose à voir avec l'erreur de jean lismonde, tu n'es pas en train d'affirmer que la réciproque est fausse (mais elle l'est !). Encore une arnaque de JL pour dire que $\cos$ admet une limite en $+\infty$...

gebrane · August 2019

Poirot
Si $f'(a)$ existe , prouve moi que $\lim_{x\rightarrow a}f'(x)$ existe et vaut $f'(a)$ je te rappelle que f' n'est as nécessairement continue et c'est l'erreur de J-L. Relis bien son raisonnement.

edit Je résume le raisonnement de JL, Il a considéré le g
-Il démontre que g est dérivable g'(0)=0
-il calcule g'
- il déduit que $\lim_{x\rightarrow a}g'(x)=0$
-Il déduit une énormité
Si je suis dans l'erreur, j'accepte qu'on me corrige.

Je rappelle que j'ai cité un théorème et je n'ai pas parlé de réciproque mais J-L l'a utilisé à sa façon !

Poirot · August 2019

C'est bien le raisonnement de JL. Je te dis simplement que ce n'est pas parce qu'un énoncé te dit "si A alors B" que l'énoncé "si B alors A" est faux. Je te faisais simplement une remarque sur la forme de ta critique à JL. Tu aurais mieux fait de lui dire directement "tu sais qu'une dérivée n'a aucune raison d'être continue ?".

Dom · August 2019

Bonsoir,

Je comprends ce que dit Poirot.
En étant trop énigmatique, on trouble le message et ça n’aide pas toujours.
Cela m’est arrivé, je ne donne pas de leçon.

Cordialement

Dom