f n'admet pas de limite en 0
Réponses
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Le premier terme (avant le « – ») a-t-il une limite en $0$ ?
Le second terme (après le « – ») ? -
Le sinus étant borné par -1 et 1, on peut montrer que le terme $3x^2\sin(\frac {1}{x^2})$ tend vers 0 lorsque $x$ tend vers 0 avec le théorème de gendarmes, là ça ne me pose pas de problème.
Par contre pour le terme $2\cos(\frac {1} {x^2})$, intuitivement je sens bien qu'il ne converge pas, mais c'est là où je ne trouve pas d'argument pour le prouver rigoureusement.
Ah, je viens d'avoir une idée : je vais essayer avec deux sous-suites qui tendent vers 0 mais qui donneront deux limites différentes par passage au cosinus. Je vais me lancer là-dessus... -
Tout va bien !
Tu vas trouver. -
C'est bon, j'ai trouvé; avec la suite $v_{n}=\sqrt{ \frac{2}{n \pi}}$ et en utilisant les sous-suites d'indice pair et d'indice impair, ça me donne deux limites différentes, et donc ça ne converge pas en 0.
Par curiosité, y a-t-il une autre méthode pour montrer que cette fonction n'admet pas de limite en 0? -
Voilà, tu as trouvé.
Non je ne vois pas autre chose ici.
Remarque :
Je trouve quatre trois limites avec la suite que tu as choisie.
La sous-suite des termes pairs donnent deux valeurs d’adhérences pour le cosinus qui sont -1 et 1 (donc cela montre qu’il n’y a pas de limite).
La sous-suite des termes impairs donne 0 comme limite pour le cosinus.
Si toutefois je ne me suis pas emmêlé les pinceaux. -
Par changement de variables y=1/x^2 pour le terme x\to cos(1/x^2) ?Le 😄 Farceur
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@ Dom, oui, effectivement il y a 3 limites comme tu le signales. Merci de ton aide.
@ Gebrane, j'ai essayé ton changement de variables, et j'aimerais ton avis sur ma manière de rédiger.
Posons $y=\frac{1}{x^2}$.
Lorsque $x$ tend vers 0, $y$ tend vers $+\infty$, et on a donc:
$\lim_{x\rightarrow 0} \cos(\frac{1}{x^2}) = \lim_{y\rightarrow +\infty} \cos(y)$, or la fonction cosinus ne possède pas de limite en $+\infty$ car elle est périodique : $\cos(\frac{1}{x^2})$ n'admet donc pas de limite en $0$. -
Il manque seulement de dire périodique non constanteLe 😄 Farceur
-
bonjour darbouka
tu considères la fonction g définie par : $g(x) = x^2.sin\frac{1}{x}$ avec x variable réelle
g(x) prend la valeur 0 lorsque x tend vers 0 (il suffit d'encadrer $- x^2 < g(x) < x^2$ et faire tendre x vers 0)
g est fonction continue, dérivable
en particulier on peut déterminer $g'(0)$ avec la limite du rapport $\frac{g(x) - g(0)}{x - 0} = x.sin\frac{1}{x}$ lorsque x tend vers 0
or ce rapport tend vers 0 par le même raisonnement que pour la détermination de $g(0)$
soit l'encadrement $- x < x.sin\frac{1}{x} < x$ qui permet de dire que $g'(0) = 0$
et l'expression en fonction de x, de la dérivée de g est aisée à calculer (dérivée d'un produit) :
$$g'(x) = 2x.sin\frac{1}{x} - cos\frac{1}{x}$$
si $g'(0) = 0$ cela signifie forcément que la limite de $cos\frac{1}{x}$ lorsque x tend vers 0 est nulle
tu en déduis quoi pour la limite de ton expression $-2cos\frac{1}{x^2}$ lorsque x tend vers 0 ?
cordialement -
Poirot
Si $f'(a)$ existe , prouve moi que $\lim_{x\rightarrow a}f'(x)$ existe et vaut $f'(a)$ je te rappelle que f' n'est as nécessairement continue et c'est l'erreur de J-L. Relis bien son raisonnement.
edit Je résume le raisonnement de JL, Il a considéré le g
-Il démontre que g est dérivable g'(0)=0
-il calcule g'
- il déduit que $\lim_{x\rightarrow a}g'(x)=0$
-Il déduit une énormité
Si je suis dans l'erreur, j'accepte qu'on me corrige.
Je rappelle que j'ai cité un théorème et je n'ai pas parlé de réciproque mais J-L l'a utilisé à sa façon !Le 😄 Farceur -
C'est bien le raisonnement de JL. Je te dis simplement que ce n'est pas parce qu'un énoncé te dit "si A alors B" que l'énoncé "si B alors A" est faux. Je te faisais simplement une remarque sur la forme de ta critique à JL. Tu aurais mieux fait de lui dire directement "tu sais qu'une dérivée n'a aucune raison d'être continue ?".
-
Bonsoir,
Je comprends ce que dit Poirot.
En étant trop énigmatique, on trouble le message et ça n’aide pas toujours.
Cela m’est arrivé, je ne donne pas de leçon.
Cordialement
Dom -
Effectivement , j'aurais lui dire... :-)Maintenant je lui dit:
Cher Jean lismonde "tu sais qu'une dérivée n'a aucune raison d'être continue ?"Le 😄 Farceur
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Bonjour!
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