Calcul d'une intégrale

Keynes · August 2019

Bonsoir. Comment montrer simplement cette égalité : $$ \int_{0}^{1}\frac{\sin(\pi x)}{x^{x}}(1-x)^{x-1}dx=\frac{\pi}{e}$$

Math Coss · August 2019

Et, euh, que vaut $x^x$ lorsque $x=0$ ?

Chaurien · August 2019

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totem · August 2019

Belle égalité qui lie $\pi$ et $e$ !

IPP ?

gebrane · August 2019

Non totem c'est de l'analyse complexe
https://artofproblemsolving.com/community/c7h501365p2817263xe

Keynes · August 2019

Merci @gebrane suivant la méthode on a : $$ \int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{\sin(\pi x)}{x^{x}}(1-x)^{x-1}dx=\frac{\pi}{2e}$$

totem · August 2019

Avec cette méthode peut-on calculer :

$\int_0^1 x^x dx $ ou $\int_1^{+\infty} x^{-x} dx$ ?

$\int_0^1 x^{-x} dx $ semble très proche de $\frac{\pi}{e} + \frac{1}{e^2}$...

Wikipedia indique "Sophomore's dream" (?)

Math Coss · August 2019

Oui, sauf que sans doute non.

sage: numerical_integral(x^(-x),0,1)
(1.2912860021807497, 1.2515872246083497e-06)
sage: (pi/exp(1)+exp(-2)).n()
1.29106263302753

totem · August 2019

Ok, c'était tentant mais raté :-)

Donc on ne peut calculer ces intrégales explicitement ?

bd2017 · August 2019

Bonjour
L'intégrale $\int_0^1 x^x dx$ est égale à $\sum _{j\in \N} (-1)^j \dfrac{1}{(j+1)^{j+1}} $ mais peut-être que quelqu'un peut donner une valeur explicite.