Équation différentielle et égalité

Ne t'es-tu pas trompé dans la définition de $T^\pm$ ? Avec $y^+(0)=0$ (resp. $y^-(0)=1$), on s'attend à $y^+(T^+)=1$ (resp. $y^-(T^-)=0$).

L'existence de $T^+$ et $T^-$ ne me semble pas du tout garantie. Supposons toutefois que $T^+$ existe. Soit $z$ la fonction définie sur $[0,T^+]$ par $z(s)=y^+(T^+-s)$. Alors :

• $z$ est dérivable et $z'(s)=-(y^+)'(T^+-s)=-f\bigl(t,y^+(T^+-s)\bigr)=-f\bigl(s,z(s)\bigr)$ pour tout $s$ ;
• $z(0)=y^+(T^+)=1$.

On en déduit que $z=y^-$, puis que $y^-(T^+)=z(T^+)=y^+(T^+-T^+)=y^+(0)=0$. Ainsi, $y^-$ s'annule en $T^+$, c'est-à-dire que $T^-$ existe et vaut $T^+$.