Preuve de $\lim I_j<1$

floyd mayweather
floyd mayweather
dans Analyse
Bonsoir.
Par maple, on a $$\lim_{j\to 0}j^4\int^{\infty}_{0}r^4\exp(-2jr)J_{1}\big(\frac{r}{2}\big)^2dr<1, $$ avec $J_1$ la fonction de Bessel d'indice 1.
Peut-on prouver ceci sans recours à maple ?
Merci.

Réponses

  • gebrane
    gebrane
    Diable! Pour qu'elle raison ta limite n'est pas égale à 0
    [size=x-large]edit , j'ai cru voir $j \to + \infty$[/size]
    Le 😄 Farceur


  • floyd mayweather
    floyd mayweather
    Le théorème de convergence dominée n'est pas applicable.
  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    On sait que $\sqrt{t} |J_1(t)| <1$ pour $t >0.$ On sait que $\int_{0}^{+\infty} u^3 2 e^{-2 u} du=3/4 <1$, et on touille.

    Modifié pour clarification : j'ai ajouté la valeur absolue à la première inégalité (inégalité qui reste vraie sans valeur absolue).
  • noix de totos
    noix de totos
    Si $I(j)$ désigne l'intégrale (sans le $j^4$ devant), alors, pour tout $j> 0$, on a $\left| I(j) \right| < \frac{1}{10} j^{-13/3} \Gamma \left( \frac{13}{3} \right) < j^{-13/3}$, et donc
    $$\left| j^4 \int_0^\infty r^4 e^{-2rj} J_1\left( \tfrac{1}{2} r \right)^2 \, \textrm{d}r \right | < j^{-1/3}.$$

    Remarque. Pour obtenir la $1$ère majoration ci-dessus, utiliser le changement de variable $t = 2 jr$, puis se servir de la majoration $\left| J_1(x) \right| \leqslant 0,7858 \, |x|^{-1/3}$, valide pour tout $x \in \mathbb{R}$.
  • floyd mayweather
    floyd mayweather
    Merci, mais

    @ noix de totos. Pour l'estimation $\left| J_1(x) \right| \leqslant 0,7858 \, |x|^{-1/3}$ on obtient $\left| j^4 \int_0^\infty r^4 e^{-2rj} J_1\left( \tfrac{1}{2} r \right)^2 \, \textrm{d}r \right | <C. j^{-1/3}$ qui ne permet pas de dire que $\lim_j \left| j^4 \int_0^\infty r^4 e^{-2rj} J_1\left( \tfrac{1}{2} r \right)^2 \, \textrm{d}r \right | <1$


    @YvesM, Certes avec l'estimation $\sqrt{t} J_1(t) <1$ on obtient le résultat voulu, veuillez me donner une référence $\sqrt{t} J_1(t) <1$.
  • noix de totos
    noix de totos
    Oui, j'avais cru voir $j \to + \infty$, alors que c'est une limite en $0^+$.

    Pour la référence à l'inégalité que je donne, voir J. L. Landau, Bessel functions : mononicity and bounds, J. London Math. Soc. 61 (2000), 197-215.

    En revanche, j'aimerais, moi aussi, qu'YvesM, donne une référence pour son inégalité que je ne connaissais pas.
  • floyd mayweather
    floyd mayweather
    Merci@noix de totos, je viens de voir l'article que tu m'as donné.

    J'ai trouvé dans Milton Abramowitz l'estimation sur l'image ci-dessus, mais il ne se voit pas bien. $(\nu^{\frac{1}{2}}$ ou $(\nu^{\frac{1}{3}})$.89516
  • floyd mayweather
    floyd mayweather
    @YvesM, veuillez me donner une référence de ton estimation.89518
  • noix de totos
    noix de totos
    La 9.1.61 n'est pas utile à ton problème puisqu'ici, on a $x=\nu$.

    Regarde plutôt là : http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.882.9575&rep=rep1&type=pdf, en bas de la page 199.
  • floyd mayweather
    floyd mayweather
    Donc l'estimation donné par @YvesM est fausse?
  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    On sait que $\displaystyle J_{\nu}(x) < ({x \over 2})^\nu {1 \over \Gamma(\nu +1)} \exp(-{x^2 \over 4(\nu+1)}), \nu \in \N, \nu \geq 0, x>0.$

    L'inégalité que j'ai donnée en résulte par étude simple d'une fonction $\displaystyle x\mapsto {x^{3/2} \over 2} e^{-x^2/8}, x>0.$

    Comme je suis physicien, je n'ai aucune référence mathématique : j'utilise le net. Mais je vous fais confiance pour en trouver.
  • floyd mayweather
    floyd mayweather
    Merci @YvesM. L'étude de la fonction proposée mène au résultat souhaité. l'égalité $\displaystyle J_{\nu}(x) = ({x \over 2})^\nu {1 \over \Gamma(\nu +1)} \exp(-{x^2 \over 4(\nu+1)}), \nu \in \N, \nu \geq 0, x>0$ je l'ai déjà rencontré quelque part, cependant je refais la recherche sur mes livres mais en vain, veuillez m'indiquer la source.89524
    89526
  • Math Coss
    Math Coss
    Une égalité de ce genre, certainement pas ! À gauche, la fonction de Bessel change de signe une infinité de fois ; à droite, c'est positif. Une inégalité, c'est une autre histoire.
  • floyd mayweather
    floyd mayweather
    Tu as raison @Math Coss , en fait, c'est une représentation intégrale modulo qlqch si je me rappelle bien.
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