Sur la densité
Bonsoir à tous, je bloque un peu sur cet exercice.
Montrer que $A=\{\sqrt{m}-\sqrt{n}\mid (m,n)\in \mathbb{N^{2}} \}$ est dense dans $\mathbb{R}$
Soit $I$ un intervalle non singulier de $\mathbb{R}$, et $a$ et $b$, deux points de $I$.
$A$ est dense dans $\mathbb{R}$, il existe un $r$ élément de $A$ tel que $r \in ]a,b[$.
Alors en partant de cette idée je suppose qu'il existe un certain élément pour chercher les conditions sur $m$ et $n$ me permettant d'aboutir à ce que je veux, mais c'est là mon problème.
J'écris $a<r<b$ équivaut à ($\sqrt{m}+\sqrt{n})a<m-n<(\sqrt{m}+\sqrt{n})b$ (à condition que $\sqrt{m}+\sqrt{n} \neq 0$, càd $m\neq 0$ ou $n\neq 0$)
Mais rien ne me dit que $(\sqrt{m}+\sqrt{n})$ est entier pour pouvoir utiliser le fait que $\mathbb{R}$ soit archimédien, et dit dans ce cas qu'on a $(\sqrt{m}+\sqrt{n})(b-a)>1$ (car on sait que entre deux réels distants d'au moins une unité, on peut toujours intercaler un entier).
NB. J'aimerais bien avoir des indications afin de le résoudre, merci d'avance pour vos réponses.
Montrer que $A=\{\sqrt{m}-\sqrt{n}\mid (m,n)\in \mathbb{N^{2}} \}$ est dense dans $\mathbb{R}$
Soit $I$ un intervalle non singulier de $\mathbb{R}$, et $a$ et $b$, deux points de $I$.
$A$ est dense dans $\mathbb{R}$, il existe un $r$ élément de $A$ tel que $r \in ]a,b[$.
Alors en partant de cette idée je suppose qu'il existe un certain élément pour chercher les conditions sur $m$ et $n$ me permettant d'aboutir à ce que je veux, mais c'est là mon problème.
J'écris $a<r<b$ équivaut à ($\sqrt{m}+\sqrt{n})a<m-n<(\sqrt{m}+\sqrt{n})b$ (à condition que $\sqrt{m}+\sqrt{n} \neq 0$, càd $m\neq 0$ ou $n\neq 0$)
Mais rien ne me dit que $(\sqrt{m}+\sqrt{n})$ est entier pour pouvoir utiliser le fait que $\mathbb{R}$ soit archimédien, et dit dans ce cas qu'on a $(\sqrt{m}+\sqrt{n})(b-a)>1$ (car on sait que entre deux réels distants d'au moins une unité, on peut toujours intercaler un entier).
NB. J'aimerais bien avoir des indications afin de le résoudre, merci d'avance pour vos réponses.
Réponses
-
Si $\lim_{t \to \infty} f(t) = \infty, \lim_{t \to \infty} f'(t) =0$ alors $\{ f(n)-f(m), (n,m) \in \N^2\}$ est dense dans $[0,\infty)$
Preuve : soit $g(k) = \sup_{l \ge k} f(l)-f(l-1)$ et $H(m,a) = \inf \{ n \ge m, f(n)-f(m) \ge a\}$ alors $f(H(m,a)) -f(m)\in [a,a+g(m)]$ -
Bonsoir
L’ensemble $A$ est étonnant car il fait appel à des racines carrées d’éventuels entiers négatifs non nuls.
Sur le fond on veut démontrer :
« quels que soient les réels $a$ et $b$ tels que $a<b$, il existe deux entiers (naturels !) $m$ et $n$ tels que, $a<\sqrt{m} - \sqrt{n}<b$.»
Une idée est d’essayer à la main avec quelques couples explicites $(a,b)$.
Ça peut dessiner un raisonnement.
Cordialement.
Dom -
J'ai été très explicite. Qu'est-ce que tu ne comprends pas ?
-
N'importe quoi gebrane
-
Reuns généralise à une classe de fonction :
Ça dit, en vulgarisant, qu’on peut trouver des racines aussi grandes que l’on veut et que les différences entre elles peuvent être rendues aussi petites que l’on veut.
On se place au dessus de $a$, puis on « gère ».
Bon tout ça est à mettre sous forme d’un raisonnement propre. -
Mais relis toi. Tu nous dis avec $f=\sqrt .$ que $\bar A=[0,\infty[$ mais en réalité $\bar A=\R$
Est-ce que $\R=[0,\infty[$ ?Le 😄 Farceur -
Oui, certes, c’est $]-\infty;+\infty[$.
-
Soit $ x>0$, pour $m>x^2$, On pose $ U_{m}=\min(n\geq 1: \sqrt{m}-\sqrt{n}\leq x )$
et considère $ W_{n}=\sqrt{m}-\sqrt{ U_{m}}$
Par définition de $ U_{m}$ on a :
$ \sqrt{m}-\sqrt{ U_{m}}\leq x<\sqrt{m}-\sqrt{ U_{m}-1}$
et donc $ 0\leq x -W_{m}\leq\sqrt{ U_{m}} -\sqrt{ U_{m}-1}$
Il simple de remarquer que $ \lim_{n\mapsto +\infty} U_{m}=+\infty$
Conclure . et pour $ x\leq 0$ adapte la preuve . -
La deuxième manière d'approcher le problème est de considérer $ a_{m}=\sqrt{m}-\sqrt{m-1}$
et considère un intervalle $ I=[a,b]$ et choisis $ m\geq \frac{1}{4(b-a)^2 }+1$ et $ n \geq \frac{1}{4(b-a)^2 }+1+b$
et $ m_{0}=\min(m:\sqrt{n}-m<b)$
et Montre que $ a_{m}\leq b-a$ et déduis que $ \sqrt{n}-\sqrt{m_{0}}\in I$ -
Plus généralement, si $f:\N\to\R$ est telle que $\lim_{n\to+\infty}f(n)=+\infty$ et $\lim_{n\to+\infty} f(n+1)-f(n)=0$, alors $A=\{f(n)-f(m)\mid (m,n)\in\N^2\}$ est dense dans $\R$.
En effet, soit $x\in \R$ Edit : je voulais dire $a$ et non $x$ et $\epsilon>0$. On veut montrer qu'il existe $n$ et $m$ tels que $|f(n)-f(m)-a|<\epsilon$. Le cas $a=0$ est facile, donc on suppose $a\ne 0$. Quitte à échanger $m$ et $n$, on peut supposer que $a> 0$.
Soit $m$ tel que pour tout $k\geqslant m$ on ait $|f(k+1)-f(k)|<\epsilon$. Soit $n$ le plus petit entier $>m$ tel que $f(n)-f(m)>a$. Alors le couple $(m,n)$ convient. -
Merci DOm pour la réponse
@Attien
Tu peux trouver pour ta culture une multitude de méthodes sur ces liens https://math.stackexchange.com/questions/275047/prove-that-the-following-set-is-dense
https://math.stackexchange.com/questions/476011/how-to-show-that-sqrt-m-sqrt-n-m-n-in-mathbb-n-is-dense-in-mathb
https://math.stackexchange.com/questions/476011/how-to-show-that-sqrt-m-sqrt-n-m-n-in-mathbb-n-is-dense-in-mathb/476017#476017Le 😄 Farceur -
Non, tu as un élément c plus petit que la longueur de l'intervalle $]a,b[$, donc il existe un $k\in \Z$ tel que $kc\in ]a,b[$. Apres réfléchis comment conclureLe 😄 Farceur
-
@ JTL : Pardonnez-moi, j'ai du mal à comprendre la preuve.
Je trouve $|f(n)-f(m)-a| < (n-m) \epsilon$ ce qui n'est pas clair car $m$ et $n$ dépendent de $\epsilon$.
Sinon la dérivée discrète est nulle donc l'ensemble des valeurs d'adhérence est un intervalle. Or $\limsup$ est $+\infty$. D'où le résultat dans $[\liminf f(n) ;+\infty[$. -
Je pense que l'idée vient d'abord de ça :
soit $m$ entier tel que $\forall k\geq m$ , on a $|f(k+1)-f(k)|<\varepsilon$.
Donc si on prend $n>m$ , $ f(n)-f(m)>a$ , alors on a $|f(n)-f(m)-a|<|f(m)-f(n)|$.
or on sait que $|f(k+1)-f(k)|<\varepsilon$ ,$\forall k\geq m $, donc c'est vrai pour $n>m$
Ainsi , $|f(n)-f(m)-a|<\varepsilon$.
C'est ce que @JTL a montré. -
@ Attien : Effectivement $|f(k+1)-f(k)|<\varepsilon$ est vrai pour $n >m$ elle donne $|f(n+1)-f(n)|<\varepsilon.$
Je ne vois pas comment tu en déduis ton "ainsi". -
$f(n)-f(m)>a>0$ ,donc $f(n)-f(m)-a<f(n)-f(m)$
d'où le résultat voulu càd $|f(n)-f(m)-a|<|f(n)-f(m)|<\varepsilon$ -
Et de façon pratique, comment trouver très facilement un couple (m,n) pour un intervalle donné ?
Par exemple [3,141; 3,142] -
@gebrane, donc si je veux bien comprendre.
Soit $\varepsilon>0$ .
Soient $I$ un intervalle non singulier , et $a$ et $b$ , deux points de $I$ tel que $a<b$
Quitte à échanger $m$ et $n$, considérons $m>n$.
soit $x_{m}=\sqrt{m}-\sqrt{n}$
posons $m=n+1$ alors la suite $(x_{m})_{m\geq n}$ tend vers $0$ pour $m$ très grand.
En considérant $\varepsilon=\frac{b-a}{3}$, on a $0<x_{m}<b-a$
Puisque $x_{m}<b-a$ il existe un entier $k \in \mathbb{Z}$ tel que $k.x_{m} \in ]a,b[$.
or $kx_{m}=\sqrt{k^{2}.m} -\sqrt{k^{2}.n} \in A$.
Ce qui montre que $A$ est dense dans $\mathbb{R}$
je veux construire une autre suite que celle de @Keynes afin de prouver le résultat (j'espère pouvoir le faire en tout cas ...8-)) -
@ Attien : Tu ne justifies pas l’argument qui me manque, ce n'est pas parce que $|f(n+1)-f(n)| \le \epsilon $ que $|f(n)-f(m)| < \epsilon$. Soit tu te trompes soit je ne vois pas l'argument.
-
edit j'ai cru que ton message concerne http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1852080,1852290#msg-1852290 mais apparemment çà concerne la preuve de JLT
Gentil suite à ton message, sache qu'on part de la suite $x_n$ définie par $x_n=\sqrt{n+1}-\sqrt n$, puis on utilise le fait que $x_n$ tend vers 0. Donc dès le début le $m$ est considéré égal à $n+1$, ça te gêne ?
Le but est de trouver un couple $(m,n)$ tel que $a<\sqrt m-\sqrt n<b$, mais Atien le malin cherche un couple de la forme $(n+1,n)$ tel que $a<\sqrt {n+1}-\sqrt n<b$.Le 😄 Farceur -
Écris $ | f(n)-f(m)-a| \leq | f(n)-f(m+1)|+| f(m+1)-f(m)-a| $ et utilise la définition de $n$ pour conclure.
-
@Gentil (effectivement, je n'avais pas terminer et il y avait bien une erreur dans ce que je disais).
On veut montrer que $|f(n)-f(m)-a|<\varepsilon$.
Si $ n=\min\{ p>m \mid f(p)-f(m)>a \}$ alors $n-1$ ne vérifie pas, càd qu'on [a] $f(n-1)-f(m)<a$ donc $f(n-1)-f(m)-a<0$.
Ainsi $|f(n)-f(m)-a|\leq|f(n)-f(n-1)|+|f(n-1)-f(m)-a|$,
et comme $|f(n)-f(n-1)|<\varepsilon$ et |f(n-1)-f(m)-a|<0. merci @Keynes cela m'a échappé
D'où le résultat. -
Soit $ x>0$, pour $ f(m)>x$, On pose $ U_{m}=\min(n\geq 1: f(m)-f(n)\leq x )$
et considère $ W_{m}=f(m)-f( U_{m})$
Par définition de $ U_{m}$ on a :
$ f(m)-f( U_{m})\leq x<f(m)-f( U_{m}-1)$
et donc $ 0\leq x -W_{m}\leq f(U_{m}) -f( U_{m}-1)$
Il simple de remarquer que $ \lim_{m\mapsto +\infty} U_{m}=+\infty$ ( car $\lim_{n\mapsto +\infty} f(n)=+\infty$)
Conclure . et pour $ x\leq 0$ adapte la preuve . -
On peut aussi raisonner :
Soit $ x>0$, pour $f(n)>x$, On pose $ U_{n}=\min(m\geq 1: f(m)-f(n)>x )$
et considère $ W_{n}=f(U_{n})-f( n)$
Par définition de $ U_{n}$ on a :
$ f(U_{n}-1)-f( n)\leq x<f(U_{n})-f( n)$
et donc $ 0\leq W_{n}-x\leq f(U_{n}) -f( U_{n}-1)$
Il simple de remarquer que $ \lim_{n\mapsto +\infty} U_{n}=+\infty$ ( car $\lim_{m\mapsto +\infty} f(m)=+\infty$)
Conclure . et pour $ x\leq 0$ adapte la preuve . -
Comment une valeur absolue peut être strictement négative ? EDIT
-
Comme elle ne peut pas, il y a sans doute quelque chose que tu ne comprends pas quelque part, qu'il faudra expliciter.
-
Gentil. Qu'est-ce que tu ne comprends pas dans la preuve de JLT ?Le 😄 Farceur
-
Je présenterais la question ainsi.
Soit $A=\{\sqrt{m}-\sqrt{n}\mid (m,n)\in \mathbb{N^{2}} \}$. Si $x\in A$, alors $-x\in A$. Si $x\in A$ et $k\in \mathbb N$, alors $kx\in A$.
Comme $\sqrt{n+1}-\sqrt{n}= \frac 1{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}$, pour tout réel $\delta >0$, il existe $\xi \in A\cap ]0,\delta \lbrack $.
Si $0<a<b$, soit $\delta = b-a$. Il existe $\xi \in A\cap ]0,\delta \lbrack $, et il existe $k\in \mathbb N^*$ tel que $k \xi \in ]a,b[$. Et comme $k\xi \in A$, terminé.
J'applique le « théorème de la grenouille » décrit ici il n'y a pas si longtemps
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1848066,1848250#msg-1848250
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1848066,1848276#msg-1848276
Bonne fin de chaude journée.
Fr. Ch.
25/08/2019 -
Bonjour Chaurien
Je fais appel à ton expérience. Peux-tu m'expliquer ce petit truc
Soit $f :\R\to \R$ dérivable . A-t-on l’équivalence entre
1)$\lim_{x\to \infty} (f(x+1)-f(x))=0$ ( hypothèse de JLT (que j'ai renforcé pour les fonctions)
2)$ \lim_{x\to \infty } f'(x)=0$ (hypothèse de reuns)
Je vois bien que 2) implique 1), mais j'ai du mal a démontrer que le 1) implique le 2)Le 😄 Farceur -
$\bullet $ L'intégrale $\displaystyle \int_{0}^{+\infty }\frac{x~dx}{1+x^{6}\sin ^{2}x}$ existe (William Lowell Putnam Competition, 1942). C'est une intégrale de Hardy, qui étudia ces intégrales $\displaystyle \int_{0}^{+\infty }\frac{x^{\mu }dx}{1+x^{\nu }\sin ^{2}x}$ dans un article du Messenger of Mathematics, vol. 31, 1902.
$\bullet $ La fonction : $\displaystyle x\mapsto F(x)=\int_{0}^{x}\frac{t~dt}{1+t^{6}\sin^{2}t}$ est définie, de classe $\displaystyle \mathcal{C}^{\infty }$ sur $\mathbf{R}$, et vérifie : $\lim_{x\rightarrow +\infty }(F(x+1)-F(x))=0$.
Sa dérivée est $F^{\prime }(x)=\frac{x}{1+x^{6}\sin ^{2}x}$, qui n'a pas pour limite $0$ quand $x\rightarrow +\infty $.
$\bullet $ Ces intégrales de Hardy sont très utiles pour exhiber divers exemples et contre-exemples. Je viens de retrouver un courrier que j'avais fait au regretté Daniel Saada au sujet d'une variable aléatoire de densité de classe $\mathcal C^ \infty$, non majorée, mais ayant des moments de tous ordres.
Bonne soirée.
Fr. Ch.
25/08/2019 -
Il y a un contre-exemple plus simple avec $f(x)=\sin(2\pi x)$.
-
Merci Chaurien, J'ai bien fait de faire appel à ta grande expérience
Merci aussi JLT
En final, la généralisation de JLT est meilleur que celle de reunsLe 😄 Farceur -
@ JLT
Certes, mais dans mon exemple on a : $\lim_{x\rightarrow +\infty }(F(x+c)-F(x))=0$ quel que soit le réel $c$. -
Remarquons que, même si $f(x+\alpha)-f(x)\rightarrow0$ pour tout réel $\alpha$, on n'a pas forcément $f'\rightarrow0$. Par exemple $e^{-x}\sin{e^x}$.
-
JLT a donné deux conditions suffisantes. Qu'en est-il de leurs nécessités. Connait-on un exemple d'ensemble $ A= \{ f(n)-f(m); \, (n,m)\in\mathbb {N}^2 \}$ dense dans $\mathbb R$ où $f$ ne vérifie pas l'une des conditions de JLT?Le 😄 Farceur
-
On peut certainement bousiller la fonction (par exemple celle du fil au départ, $\sqrt {.}$) en des points, par exemple, changer sa valeur et la rendre égale à $\pi$ en tous les $f(k\sqrt {2})$, $k$ entier. Sauf erreur.
Édit : mais peut-être veux-tu la garder dérivable ? -
En localisant "paire et impaire" cela fonctionne et si on veut une "vraie" fonction,
$\sqrt{x/2}\cos^2(x\pi/2)$ doit faire le job. -
@Dom
dérivable, non
Si tu veux, je vais récrire le postulat la généralisation de JLT avec les suites
Soit $a_n$ une suite de nombres réelles vérifiant les deux hypothèses
$\displaystyle \lim_{n\to \infty}a_n=+\infty$ et $\displaystyle \lim_{n\to \infty }(a_{n+1}-a_n)=0$
Alors l'ensemble $A=\{a_n-a_m; n,m\in\mathbb{N}\}$ est dense dans $\mathbb{R}$
@OG à méditerLe 😄 Farceur -
Hum...
Ce n’est pas un postulat, c’est l’exercice généralisé du fil.
Peux-tu proposer un énoncé clair de ce que tu veux ?
Je vois trop de non dits lié à des abréviations de langage.
Je comprends l’appellation « deux consistions de JLT » que tu viens de rappelé.
C’est ce qui fait marcher les choses.
On en déduit l’existence d’une série télescopique dont le pas (terme général) est aussi petit qu’on veut et dont la suite des somme partielles diverge, ce qui permet d’atteindre tout réel. -
Dom, on se comprend plus. Mon but c'est de savoir si l'une des deux conditions est vraiment nécessaire.
OG Es-tu sûr de la densité de ton exemple?Le 😄 Farceur -
Ok.
On modifie la suite $a$ pour qu’elle ne tende par vers l’infini.
Mais on la garde quand même non bornée.
Je vulgarise : elle fait des vagues en montant à 1 puis en redescendant à 0, remonte à 2, redescend à 0, remonte à 3 etc. -
Il me semble que oui car avec la même notation pour $A$ on a
$A\supset\{ f(2n)-f(2m)\mid 2n,2m\in\N\}=\{\sqrt{n}-\sqrt{m}\mid n,m\in\N\}$.
(merci à Gebrane pour la coquille)
Pour les hypothèses sur les suites ou les fonctions, on peut toujours bricoler. L'important est d'avoir une extractrice (commune) pour laquelle les deux hypothèses sont vérifiées. Peut-on affaiblir encore, je ne sais pas...
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.2K Toutes les catégories
- 9 Collège/Lycée
- 21.9K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 53 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 65 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 69 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 314 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 773 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres
Qui est en ligne 7
+4 Invités