Nulle presque partout

gebrane · August 2019

Bonsoir
J'ai besoin de ce résultat.

Soit $f \in L^1(\R)$. Si $\int_a^b f(x)dx=0$ pour tous rationnels $a,b,\ (a<b)$, est-ce que je peux conclure que $f$ est nulle presque partout ?

aléa · August 2019

Oui, car alors $f_+.\lambda$ et $f_-.\lambda$ coïncident sur un $\pi$-système qui engendre la tribu.

gebrane · August 2019

Merci alea , je vais chercher dans ce sens.
(j'avais l'idée d'appliquer le TCD)

reuns · August 2019

Si $f \in L^1_{loc}$ alors $F(y) = \int_0^y f(x)dx$ est continue et $\forall y \in \Q, F(y)=0 \implies \forall y, F(y) = 0$

Disons que $f$ est réelle, avec $\int_a^b |f(x)|dx < \infty$ en prenant une suite d'intervalles qui converge vers $1_{f > 0}1_{[a,b]}$
cela implique $\int 1_{f > 0}1_{[a,b]} f(x)dx = 0$ et donc $\int_a^b |f(x)|dx = 0$ et $f$ est nulle presque partout

lourrran · August 2019

Question :
Si f est définie par : f(x)= 1 si x est rationnel, -1 si x est irrationnel.
Cette fonction n'est pas presque partout nulle. Et si on parle d'intégrale de Lebesque, son intégrale est nulle.

Mais je ne me souviens pas du tout de la signification de $L^1(\R)$ , et j'imagine que ma fonction n'appartient pas à cet ensemble

gebrane · August 2019

Réponse
Ta fonction est égale à -1 presque partout, comment veux-tu qu'elle soit dans $L^1(\R)$?, biensure bien sûr elle est $L^1_{loc}$

Math Coss · August 2019

Comme le dit gebrane, la fonction $f$ n'est pas intégrable (parce que la fonction $|f|$, constante égale à $1$, a une intégrale infinie) donc on ne peut pas dire que "son intégrale est nulle" parce que "son intégrale" n'est pas définie.
En revanche, on peut l'intégrer sur n'importe quel intervalle borné.L'intégrale de cette fonction $f$ sur un intervalle $[a,b]$ (avec $a\le b$) est $a-b$, en général différent de zéro.

Chaurien · August 2019

biensure ?

gebrane · August 2019

Cher gardien Chaurien
Je lui ai dit la vérité bien sûr ! Bien sûr j’aurais préféré ne pas avoir à lui dire.

gebrane · August 2019

Ma question se résout, avec un peu de recul, avec le TCD.
Soit des réels a,b quelconques (a<b). Par densité de $\mathbb{Q}$ dans $\mathbb{R}$, il existe une suite de rationnels croissante $b_n$ vers b et une suite de rationnels décroissante $a_n$ vers a. On a $$0=\int_{a_n}^{b_n} f=\int_{\mathbb{R}} f\chi_{]a_n,b_n[}.$$ Puisque $f\in L^1$ par le TCD $\displaystyle \int_a^b f=\lim_{n\to \infty} \int_{\mathbb{R} }f\chi_{]a_n,b_n[}$ donc $\int_a^b f=0$ et on conclut puisque a,b sont des réels quelconques

lourrran · August 2019

Je disais : je ne me souviens pas du tout de la signification de $L^1(\R)$, et j'imagine que ma fonction n'appartient pas à cet ensemble

On m'a répondu : Bien sûr que cette fonction n'appartient pas à $L^1(\R)$.

Réponse totalement inutile, fallait pas vous fatiguer pour ça. La seule réponse intéressante, c'était une définition de $L^1(\R)$, ou un lien vers un article sur le sujet.

Au moins, j'ai la confirmation que mon diagnostic était juste. Merci pour ça.

gerard0 · August 2019

Bonjour Iourran.

Tu tapes "fonction L1" dans ton moteur de recherche favori. Qwant m'a immédiatement proposé la page Wikipédia "Espace L1" qui t'aurait renseigné.

Cordialement.

NB : En général, pour les définitions courantes, les répondeurs ne disent rien, vu qu'on les trouve en 3 secondes, si on les cherche.

gebrane · August 2019

Bonjour Iourran

Si tu trouves la réponse inutile, alors ta contribution aussi est inutile puisque tu parles d'un truc que tu ne connais pas!
Sans rancunes :-D

Dom · August 2019

La réponse peut paraître inutile pour celui qui pose la question mais pas forcément pour tout lecteur qui passe par là.

Corto · August 2019

Le vrai problème de ta réponse lourran ce n'est pas que $f$ n'est pas dans $L^1$ mais que $\int_a^b f(t) \text dt = a-b $ et pas $0$ contrairement à ce que tu avais annoncé.

Nulle presque partout

Réponses

Bonjour!

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 46