$f(z)=ze^z$ n'est pas injective
C'est le chaos chez moi avec le déménagement, donc je fais le moins de maths possible en ce moment, mais je n'ai pas pu m'en empêcher :-D
Pour justifier que la "fonction" $W$ de Lambert est multivaluée, on montre que la fonction $f(z)=ze^z$, dont $W$ est "la réciproque", n'est pas injective.
La seule preuve que je sais faire est la suivante : on restreint $f$ à $\mathbb{R}$, on fait une gentille étude de fonction en dérivant et on trouve que $f$ prend deux fois les valeurs de l'intervalle $\big] {-}\dfrac{1}{e};0 \big[$, et donc elle n'est pas injective.
Cet argument est très simple et tout à fait suffisant, mais... je me dis que $z \mapsto ze^z$, ce n'est quand même pas une fonction très compliquée, j'aimerais trouver une bidouille pour démontrer qu'elle est non injective "directement sur $\mathbb{C}$", sans s'aider d'une restriction à $\mathbb{R}$. Ça doit quand même pouvoir se faire, non ? J'aime bien démontrer un résultat avec les outils de la théorie à laquelle il appartient, donc un truc plus purement algébrique ou orienté analyse complexe, je trouverais ça plus intéressant que la preuve par l'analyse réelle.
Je ne pense pas qu'un développement en série entière mènera à grand-chose... $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^{n+1}}{n!}$ ça ne m'inspire pas franchement, en tout cas.
Et si on écrit $ze^z = z'e^{z'}$, ça donne... $\displaystyle \frac{z}{z'} = e^{z'-z}$ par exemple. Je ne sais pas trop si je peux en tirer quelque chose d'utile...
Quelqu'un a une idée ?
Pour justifier que la "fonction" $W$ de Lambert est multivaluée, on montre que la fonction $f(z)=ze^z$, dont $W$ est "la réciproque", n'est pas injective.
La seule preuve que je sais faire est la suivante : on restreint $f$ à $\mathbb{R}$, on fait une gentille étude de fonction en dérivant et on trouve que $f$ prend deux fois les valeurs de l'intervalle $\big] {-}\dfrac{1}{e};0 \big[$, et donc elle n'est pas injective.
Cet argument est très simple et tout à fait suffisant, mais... je me dis que $z \mapsto ze^z$, ce n'est quand même pas une fonction très compliquée, j'aimerais trouver une bidouille pour démontrer qu'elle est non injective "directement sur $\mathbb{C}$", sans s'aider d'une restriction à $\mathbb{R}$. Ça doit quand même pouvoir se faire, non ? J'aime bien démontrer un résultat avec les outils de la théorie à laquelle il appartient, donc un truc plus purement algébrique ou orienté analyse complexe, je trouverais ça plus intéressant que la preuve par l'analyse réelle.
Je ne pense pas qu'un développement en série entière mènera à grand-chose... $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^{n+1}}{n!}$ ça ne m'inspire pas franchement, en tout cas.
Et si on écrit $ze^z = z'e^{z'}$, ça donne... $\displaystyle \frac{z}{z'} = e^{z'-z}$ par exemple. Je ne sais pas trop si je peux en tirer quelque chose d'utile...
Quelqu'un a une idée ?
Réponses
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$$f'(z) = (1+z)e^z,\qquad f'(-1) = 0$$
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Moi, on m'a toujours appris à répondre en faisant des phrases 8-)
J'ai voulu déchiffrer ton message, et j'ai découvert le résultat suivant : si une fonction holomorphe est injective, alors sa dérivée ne s'annule jamais. Soit c'est quelque chose que je n'ai effectivement jamais vu, soit je n'en ai aucun souvenir (ça ne me dit vraiment rien). Je vais essayer de démontrer ça (:D -
$f'(-1) =0,f''(-1) \ne 0$ donne que $f(-1+z)=f(-1) + \frac{f''(-1)}{2} z^2 + O(z^3)$ donc localement les images ont deux antécédent
(sauf l'image de $z=0$ où les deux antécédents se confondent en un point)
Note que localement injectif n'est pas suffisant : $e^z$ est localement injective mais pas globalement injective. -
Je n'aime vraiment pas écrire des égalités avec les notations de Landau, mais je vois le raisonnement.
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Tu peux également démontrer que les seules applications entières et injectives sont les applications affines.
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Si tu n'aimes pas Landau, peut être avec les séries ? http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1280349,1280355Le 😄 Farceur
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Juste le fait de les mettre dans des égalités. Pour moi, c'est plus clair d'écrire $f \in o(h)$ que $f = o(h)$, je suis probablement dans la minorité mais ça me perturbe vraiment de l'écrire avec une égalité.
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Un petit abus pour des bénéfices immédiat. Tu voudrais écrire $e^x \in 1 + x + O(x^2)$ ou $e^x - 1 - x \in O(x^2)$ par exemple ? C'est bien lourd pour pas grand-chose.
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Bonjour,
[size=x-small]Peut-on m’éclairer sur ces lignes
[/size]reuns ecrivait a écrit:$f(-1+z)=f(-1) + \frac{f''(-1)}{2} z^2 + O(z^3)$ donc localement les images ont deux antécédentsLe 😄 Farceur -
Oui, j'ai suffisamment de pistes pour résoudre ça.
Je verrai quand je pourrai faire ça proprement, j'ai emballé mes cours pour mon déménagement, un peu trop tôt peut-être :-D
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Bonjour!
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