Équivalent

Etienne l’autre · August 2019

Bonjour
Je cherche un équivalent en + l’infini de A=sin(pi*sqrt(n^2+1))/ln(n).
J’aimerais bien pouvoir composer car la limite de A en l’infini est 0.
Mais je pense quand même qu’il existe une méthode d’équivalence avec les séries qui rendrait le problème plus simple.
Merci de votre aide

gebrane · August 2019

Un DL ?
sin(pi*sqrt(n^2+1))=sin(n*pi*sqrt(1+1/n²))

Etienne l’autre · August 2019

Mais le DL c’est possible pour n en + l’infini si?

gebrane · August 2019

si quoi?

Etienne l’autre · August 2019

Je demandais juste une confirmation de ce que je disais

gebrane · August 2019

Sans DL, le plus simple est d'ecrire que $\sqrt{n^2+1}=n+\frac 1{\sqrt{n^2+1}+n}$

Etienne l’autre · August 2019

Mais pour moi on doit avoir une valeur fixée pour faire le dl

Etienne l’autre · August 2019

gebrane écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1852784,1852798#msg-1852798
[Inutile de recopier l'avant dernier message. Un lien suffit. AD]

Ok je vais essayer merci

Etienne l’autre · August 2019

Tu es certain de l’égalité que tu m’as proposée?

Poirot · August 2019

Oui, c'est une quantité conjuguée : $$(\sqrt{n^2+1} - n)(\sqrt{n^2+1} + n) = 1.$$

Et ce que gebrane te suggère de faire c'est un développement limité, ou plus formellement ici, un développement asymptotique de $\sqrt{n^2+1} = n \sqrt{1 + \frac{1}{n^2}}$ quand $n \to +\infty$.

Héhéhé · August 2019

On a $$
\sin\left( \pi \sqrt{1+n^2} \right)
= \sin\left( n \pi \sqrt{1+\frac{1}{n^2}} \right)
$$ Or $$
n \pi \sqrt{1+\frac{1}{n^2}} = n \pi \left(1+\frac{1}{2n^2} + \mathcal O(n^{-4}) \right)
= n \pi + \frac{\pi}{2n} + \mathcal O(n^{-3})
$$ d'où $$
\sin\left( \pi \sqrt{1+n^2} \right) = \sin \left( n \pi + \frac{\pi}{2n} + \mathcal O(n^{-3}) \right)
= (-1)^n \sin\left(\frac{\pi}{2n} + \mathcal O(n^{-3}) \right)
= (-1)^n \left( \frac{\pi}{2n} + \mathcal O(n^{-3}) \right)
$$ Finalement, on a donc $$
\frac{\sin\left( \pi \sqrt{1+n^2} \right)}{\ln n} \sim \frac{(-1)^n \pi}{2n \ln n}$$