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Équivalent

Envoyé par Etienne l’autre 
Équivalent
il y a neuf mois
Bonjour
Je cherche un équivalent en + l’infini de A=sin(pi*sqrt(n^2+1))/ln(n).
J’aimerais bien pouvoir composer car la limite de A en l’infini est 0.
Mais je pense quand même qu’il existe une méthode d’équivalence avec les séries qui rendrait le problème plus simple.
Merci de votre aide :)



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a neuf mois et a été effectuée par AD.
Re: Équivalent
il y a neuf mois
avatar
Un DL ?
sin(pi*sqrt(n^2+1))=sin(n*pi*sqrt(1+1/n²))

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[Le meilleur moyen de fuir le monde est de pénétrer les mathématiques ]
Re: Équivalent
il y a neuf mois
Mais le DL c’est possible pour n en + l’infini si?
Re: Équivalent
il y a neuf mois
avatar
si quoi?

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[Le meilleur moyen de fuir le monde est de pénétrer les mathématiques ]
Re: Équivalent
il y a neuf mois
Je demandais juste une confirmation de ce que je disais :)
Re: Équivalent
il y a neuf mois
avatar
Sans DL, le plus simple est d'ecrire que $\sqrt{n^2+1}=n+\frac 1{\sqrt{n^2+1}+n}$

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[Le meilleur moyen de fuir le monde est de pénétrer les mathématiques ]
Re: Équivalent
il y a neuf mois
Mais pour moi on doit avoir une valeur fixée pour faire le dl
Re: Équivalent
il y a neuf mois
gebrane écrivait : [www.les-mathematiques.net]
[Inutile de recopier l'avant dernier message. Un lien suffit. AD]
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Ok je vais essayer merci :)



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a neuf mois et a été effectuée par AD.
Re: Équivalent
il y a neuf mois
Tu es certain de l’égalité que tu m’as proposée?
Re: Équivalent
il y a neuf mois
Oui, c'est une quantité conjuguée : $$(\sqrt{n^2+1} - n)(\sqrt{n^2+1} + n) = 1.$$

Et ce que gebrane te suggère de faire c'est un développement limité, ou plus formellement ici, un développement asymptotique de $\sqrt{n^2+1} = n \sqrt{1 + \frac{1}{n^2}}$ quand $n \to +\infty$.
Re: Équivalent
il y a neuf mois
On a $$
\sin\left( \pi \sqrt{1+n^2} \right)
= \sin\left( n \pi \sqrt{1+\frac{1}{n^2}} \right)
$$ Or $$
n \pi \sqrt{1+\frac{1}{n^2}} = n \pi \left(1+\frac{1}{2n^2} + \mathcal O(n^{-4}) \right)
= n \pi + \frac{\pi}{2n} + \mathcal O(n^{-3})
$$ d'où $$
\sin\left( \pi \sqrt{1+n^2} \right) = \sin \left( n \pi + \frac{\pi}{2n} + \mathcal O(n^{-3}) \right)
= (-1)^n \sin\left(\frac{\pi}{2n} + \mathcal O(n^{-3}) \right)
= (-1)^n \left( \frac{\pi}{2n} + \mathcal O(n^{-3}) \right)
$$ Finalement, on a donc $$
\frac{\sin\left( \pi \sqrt{1+n^2} \right)}{\ln n} \sim \frac{(-1)^n \pi}{2n \ln n}$$



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a neuf mois et a été effectuée par AD.
Re: Équivalent
il y a neuf mois
Merci à tous :))
Re: Équivalent
il y a neuf mois
avatar
Avec l’égalité que j'ai donnée, on n'a pas besoin d'un DL seulement l’équivalent de $\sin(u_n)$ lorsque $u_n$ tend vers 0.
Vois-tu le comment ?

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[Le meilleur moyen de fuir le monde est de pénétrer les mathématiques ]



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a neuf mois et a été effectuée par AD.
Re: Équivalent
il y a neuf mois
oui je crois :)
Tu développes le sin(a+b) et tu remplaces avec les (-1)^n les 0 ou les équivalents avec l’identité quoi
Merci beaucoup :)
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