Équivalent
dans Analyse
Bonjour
Je cherche un équivalent en + l’infini de A=sin(pi*sqrt(n^2+1))/ln(n).
J’aimerais bien pouvoir composer car la limite de A en l’infini est 0.
Mais je pense quand même qu’il existe une méthode d’équivalence avec les séries qui rendrait le problème plus simple.
Merci de votre aide
Je cherche un équivalent en + l’infini de A=sin(pi*sqrt(n^2+1))/ln(n).
J’aimerais bien pouvoir composer car la limite de A en l’infini est 0.
Mais je pense quand même qu’il existe une méthode d’équivalence avec les séries qui rendrait le problème plus simple.
Merci de votre aide
Réponses
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Un DL ?
sin(pi*sqrt(n^2+1))=sin(n*pi*sqrt(1+1/n²))Le 😄 Farceur -
Mais le DL c’est possible pour n en + l’infini si?
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si quoi?Le 😄 Farceur
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Je demandais juste une confirmation de ce que je disais
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Sans DL, le plus simple est d'ecrire que $\sqrt{n^2+1}=n+\frac 1{\sqrt{n^2+1}+n}$Le 😄 Farceur
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Mais pour moi on doit avoir une valeur fixée pour faire le dl
-
gebrane écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1852784,1852798#msg-1852798
[Inutile de recopier l'avant dernier message. Un lien suffit. AD]
Ok je vais essayer merci -
Tu es certain de l’égalité que tu m’as proposée?
-
Oui, c'est une quantité conjuguée : $$(\sqrt{n^2+1} - n)(\sqrt{n^2+1} + n) = 1.$$
Et ce que gebrane te suggère de faire c'est un développement limité, ou plus formellement ici, un développement asymptotique de $\sqrt{n^2+1} = n \sqrt{1 + \frac{1}{n^2}}$ quand $n \to +\infty$. -
On a $$
\sin\left( \pi \sqrt{1+n^2} \right)
= \sin\left( n \pi \sqrt{1+\frac{1}{n^2}} \right)
$$ Or $$
n \pi \sqrt{1+\frac{1}{n^2}} = n \pi \left(1+\frac{1}{2n^2} + \mathcal O(n^{-4}) \right)
= n \pi + \frac{\pi}{2n} + \mathcal O(n^{-3})
$$ d'où $$
\sin\left( \pi \sqrt{1+n^2} \right) = \sin \left( n \pi + \frac{\pi}{2n} + \mathcal O(n^{-3}) \right)
= (-1)^n \sin\left(\frac{\pi}{2n} + \mathcal O(n^{-3}) \right)
= (-1)^n \left( \frac{\pi}{2n} + \mathcal O(n^{-3}) \right)
$$ Finalement, on a donc $$
\frac{\sin\left( \pi \sqrt{1+n^2} \right)}{\ln n} \sim \frac{(-1)^n \pi}{2n \ln n}$$ -
Merci à tous )
-
Avec l’égalité que j'ai donnée, on n'a pas besoin d'un DL seulement l’équivalent de $\sin(u_n)$ lorsque $u_n$ tend vers 0.
Vois-tu le comment ?Le 😄 Farceur -
oui je crois
Tu développes le sin(a+b) et tu remplaces avec les (-1)^n les 0 ou les équivalents avec l’identité quoi
Merci beaucoup
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Bonjour!
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