Équivalent
dans Analyse
Bonjour
Je cherche un équivalent en + l’infini de A=sin(pi*sqrt(n^2+1))/ln(n).
J’aimerais bien pouvoir composer car la limite de A en l’infini est 0.
Mais je pense quand même qu’il existe une méthode d’équivalence avec les séries qui rendrait le problème plus simple.
Merci de votre aide
Je cherche un équivalent en + l’infini de A=sin(pi*sqrt(n^2+1))/ln(n).
J’aimerais bien pouvoir composer car la limite de A en l’infini est 0.
Mais je pense quand même qu’il existe une méthode d’équivalence avec les séries qui rendrait le problème plus simple.
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Réponses
sin(pi*sqrt(n^2+1))=sin(n*pi*sqrt(1+1/n²))
[Inutile de recopier l'avant dernier message. Un lien suffit. AD]
Ok je vais essayer merci
Et ce que gebrane te suggère de faire c'est un développement limité, ou plus formellement ici, un développement asymptotique de $\sqrt{n^2+1} = n \sqrt{1 + \frac{1}{n^2}}$ quand $n \to +\infty$.
\sin\left( \pi \sqrt{1+n^2} \right)
= \sin\left( n \pi \sqrt{1+\frac{1}{n^2}} \right)
$$ Or $$
n \pi \sqrt{1+\frac{1}{n^2}} = n \pi \left(1+\frac{1}{2n^2} + \mathcal O(n^{-4}) \right)
= n \pi + \frac{\pi}{2n} + \mathcal O(n^{-3})
$$ d'où $$
\sin\left( \pi \sqrt{1+n^2} \right) = \sin \left( n \pi + \frac{\pi}{2n} + \mathcal O(n^{-3}) \right)
= (-1)^n \sin\left(\frac{\pi}{2n} + \mathcal O(n^{-3}) \right)
= (-1)^n \left( \frac{\pi}{2n} + \mathcal O(n^{-3}) \right)
$$ Finalement, on a donc $$
\frac{\sin\left( \pi \sqrt{1+n^2} \right)}{\ln n} \sim \frac{(-1)^n \pi}{2n \ln n}$$
Vois-tu le comment ?
Tu développes le sin(a+b) et tu remplaces avec les (-1)^n les 0 ou les équivalents avec l’identité quoi
Merci beaucoup