Limite monotone

OShine
OShine
dans Analyse
Bonjour

Soit $f$ une fonction croissante définie sur intervalle $I$, d'extrémités $a$ et $b$ dans $\bar \R$.
Alors pour tout $x \in I \setminus\{b\}$ la fonction $f$ a une limite à droite en $x$ et $f(x) \leq f(x^+)$.
Comment appliquer ce résultat pour $f$ décroissante ?
Comme $-f$ est croissante, la fonction $-f$ a une limite à droite en $x$ et $-f(x) \leq -f(x^+)$.

Mais comment repasser à : "si $f$ a une ..." :-S

Réponses

  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    Ta question est bizarre puisqu’il n’y a pas de ‘si f a une...’ dans l’énoncé original.
  • gerard0
    gerard0
    Tu ne sais pas changer de signe dans une inégalité ?

    Cordialement.
  • OShine
    OShine
    Cela donne
    Comme $-f$ est croissante, la fonction $-f$ a une limite à droite en $x$ et $f(x) \geq f(x^+)$.

    Mais un détail me perturbe : si que $-f$ à une limite à droite en $x$, $f$ a-t-elle une limite à droite en $x$ ?
    Je dirais que oui mais je ne suis pas sûr. En effet, supposons que $-f$ admet une limite à droite en $x$ alors $\lim_a -f_{I \cap ]a,+\infty[} =\ell$ alors $f$ admet une limite à droite en $x$ car $\lim_a f_{I \cap ]a,+\infty[} = -\ell$
  • gerard0
    gerard0
    Pourquoi n'es-tu pas sûr ?
    Si tu as partout appliqué les règles mathématiques, c'est plus sûr que l'avis d'un inconnu sur un forum. Et si tu as affirmé quelque chose sans application d'une règle (ou rédaction d'une preuve), ça ne vaut rien, il reste à justifier.

    Cordialement.

    NB : à droite, ça concerne f ou ça concerne x ?
  • OShine
    OShine
    C'est à droite de $x$ bien évidemment.

    Je pense que ma démonstration est correcte, je ne vois pas ce qu'il resterait à justifier. Il est trivial que si $f \longrightarrow \ell$ alors $-f \longrightarrow -\ell$

    Sur les forum de maths il y a des personnes qui ont un niveau largement au dessus du mien et qui ont un recul mathématique que je n'ai pas.
  • gerard0
    gerard0
    Effectivement.

    Je voulais simplement t'inciter à revoir ta preuve pour vérifier qu'elle est solide. Bien entendu, on peut parfois se leurrer, mais celui qui te répond n'a pas d'autre moyen de vérifier que de faire ce que je te proposais. On ne s'encombre pas l'esprit de milliers de résultats partiels.

    Cordialement.
  • OShine
    OShine
    Merci bonne soirée à vous.
  • OShine
    OShine
    Bonjour
    J'ai à ma disposition ce théorème.

    Soit $f$ une fonction croissante définie sur un intervalle ouvert $I=]a,b[$ avec $(a,b) \in \bar \R^2$ et $a<b$. Alors $\lim\limits_{x \rightarrow a} f(x)$ et $\lim\limits_{x \rightarrow b} f(x)$ existent dans $\bar \R$. Si $f(I)$ est minoré alors $\lim_b f= \sup f(I)$ sinon $\lim_b f=+\infty$. Si $f(I)$ est minoré alors $\lim_a f= \inf f(I)$ sinon $\lim_a f=+\infty$.

    Je n'arrive pas à montrer le résultat suivant.
    Si $f$ est croissante et $c \in \,]a,b[$ alors pour tout $(x,y) \in I^2$ vérifiant $x<c<y$ on a : $f(x) \leq f(c^-)$ et $f(c^+) \leq f(y)$.

    [Restons dans ta précédente discussion. AD]
  • Héhéhé
    Héhéhé
    Je ne comprends pas. Si $f$ est croissante, alors $x < c < y$ implique directement que $f(x) \leq f(c) \leq f(y)$.
  • Dom
    Dom
    Il note $c^-$, on parle donc de la limite en $c$ à gauche.
    Disons qu’il faut travailler un peu plus.
  • OShine
    OShine
    Désolé j'ai oublié de donner les notations :

    $f(c^-)= \lim\limits_{\substack{x \rightarrow c \\ x<c}} f(x)$ et $f(c^+)= \lim\limits_{\substack{x \rightarrow c \\ x>c}} f(x)$
  • gebrane
    gebrane
    Tu veux démontrer que $f(c^-)$ est un majorant de $f(]a,c[)$, vise gros et démontre que $f(c^-)=\sup f(]a,c[)$.
    Le 😄 Farceur


  • lourrran
    lourrran
    Quasiment la même question a été posée ici
    Probablement la même personne derrière ces 2 questions.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • gerard0
    gerard0
    Oui, et aussi ici où il a eu de nombreuses réponses.
  • noobey
    noobey
    Oshine a déjà été banni de ilemaths pour avoir posté les mêmes sujets sur 3 forums différents à la fois. Maintenant qu'il est banni il a trouvé un 3e forum qui lui manquait pour poser ses questions (les-mathematiques.net)

    Si vous ne le connaissez pas c'est un mec qui passe sa vie mais alors sa vie (il peut être là à 4h du mat) à recopier des lignes de son bouquin pour qu'on réponde à ses questions farfelues.

    Il vise le CAPES et à terme l'agrégation.
  • FLEURISTIN
    FLEURISTIN
    Au moins il est très motivé.

    X:-(
  • noobey
    noobey
    Bah il a vu le filon pas besoin de payer des profs il en a 30 pour lui
  • gerard0
    gerard0
    Il reconnaît lui-même qu'il n'a pas le niveau L1 (J'en suis au tiers de mon bouquin de L1)
    Il perd son temps, il rêve !

    Attention : Avec ses questions farfelues, il a levé des lièvres, montré que certains bouquins manquent de sérieux !!

    Mais lui ne progresse pas vraiment. C'est normal, il considère qu'il n'a pas le niveau pour chercher seul, il lui faut des preuves toutes rédigées. Qui seront oubliées dans 3 mois, puisqu'il les a seulement copiées et vérifiées pas à pas; ce ne sont pas les siennes.

    Cordialement.
  • gebrane
    gebrane
    J'avais posé à mon prof de L1, peut-on démontrer pour une fonction croissante, en utilisant les définitions, l'existence de limite à gauche ou à droite sans passer par les notions de la borne sup et inf, il m'a répondu : ta question est suicidaire.
    Est ce que c'est vraiment obligé de passer par cette notion ?
    Le 😄 Farceur


  • gerard0
    gerard0
    En fait, la limite en b, pour une fonction croissante bornée sur ]a,b[ est la borne supérieure des f(x). Il suffit de comparer les définitions pour le voir. Soit on a l'équivalent du théorème de la borne supérieure et on l'utilise sans le dire, soit on a une définition différente de $\mathbb R$, et on va, pour définir la limite (dire qui c'est) redéfinir la notion de borne supérieure, éventuellement sans le dire.

    Cordialement.
  • OShine
    OShine
    Le problème est résolu. Excusez-moi d'avoir posté sur 2 forums.
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