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Équivalent DA de suite implicite

Envoyé par Etienne l’autre 
Équivalent DA de suite implicite
il y a neuf mois
Bonjour à tous
On a une suite (Xn) tq: Xn*ln(Xn)=n
J’ai trouvé un equivalent de Xn: ln(n)/n au l’on appelle Cn
Mais je ne trouve pas d’équivalent de Xn-Cn
Quelqu’un aurait des conseils?
Re: Équivalent DA de suite implicite
il y a neuf mois
La suite $x_n$ est croissante et tend vers $+ \infty$ et ne saurait donc être équivalente à $\frac{\ln n}{n}$. En fait : $x_{n}\sim \frac{n}{\ln n}$. Pour aller plus loin, on pose : $x_{n}= \frac{n}{\ln n}(1+\alpha _{n})$, $\alpha _{n}\rightarrow 0$, et en menant consciencieusement le calcul, on aboutit à : $\alpha _{n}\sim \frac{\ln \ln n}{\ln n}$, si je ne me trompe.
Bonne soirée.
Fr. Ch.
Re: Équivalent DA de suite implicite
il y a neuf mois
Bonjour
Personnellement je trouve
$x_n=n/\ln(n) + n \ln( \ln(n) )/\ln(n)^2(1+o(1)) $
c'est à dire que j'ai un carré au dénominateur de $\alpha_n$



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a neuf mois et a été effectuée par bd2017.
Re: Équivalent DA de suite implicite
il y a neuf mois
Comment avez-vous obtenu l'équivalent de $x_n$ svp ? est-ce avec les sommes de Cesaro ou pas du tout ?
Re: Équivalent DA de suite implicite
il y a neuf mois
@ totem
Nous trouvons la même chose, bd2017 et moi. Pour ma part, pas besoin de Cesàro, juste la conduite des calculs à partir de $x_{n}= \frac{n}{\ln n}(1+\alpha _{n})$, $\alpha _{n}\rightarrow 0$.
Bon courage et bonne soirée.
Fr. Ch.
Re: Équivalent DA de suite implicite
il y a neuf mois
Chaurien écrivait : [www.les-mathematiques.net]
[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]
-------------------------------------------------------
Merci pour ta réponse :)
Je me suis trompé en recopiant désolé
Par contre je ne vois pas en quoi ça nous avance pour l’équivalent de Xn-Cn :(



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a neuf mois et a été effectuée par AD.
Re: Équivalent DA de suite implicite
il y a neuf mois
Et Totem
Pour obtenir que l’equivalent de Xn est n/ln(n) j’ai composé l’égalité Xn*ln(Xn)=n par ln et ensuite j’ai remplacé ln(Xn) par n/xn
Re: Équivalent DA de suite implicite
il y a neuf mois
Ah non enfait j’ai compris :)(
Merci!!
Re: Équivalent DA de suite implicite
il y a neuf mois
On peut continuer, et poser : $\alpha_{n}= \frac{\ln \ln n}{\ln n}(1+\beta _{n})$, $\beta _{n} \rightarrow 0$, et je trouve (encore) : $\beta _{n}\sim \frac{\ln \ln n}{\ln n}$. Sans garantie contre les erreurs de calcul.
Re: Équivalent DA de suite implicite
il y a neuf mois
@Etienne l'autre: ok merci.
J'obtiens $$\frac{n}{x_n}+ \ln \big(\frac{n}{x_n}\big)=\ln(n).

$$ Les croissances comparées suffisent à conclure ? le $x_n$ au dénominateur me gêne...



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a neuf mois et a été effectuée par AD.
Re: Équivalent DA de suite implicite
il y a neuf mois
De $x_n \rightarrow +\infty$ il résulte : $\ln x_n+\ln \ln x_n \sim \ln x_n$.
On a : $\ln x_n+\ln \ln x_n=\ln n$. D'où : $\ln x_n \sim \ln n$. On reporte dans : $ x_n \ln x_n =n$.
Bonne nuit.
Fr. Ch.
Re: Équivalent DA de suite implicite
il y a neuf mois
OK merci !

Et $x_n \rightarrow +\infty$ c'est trivial ?? j'ai essayé d'étudier le signe de $x_{n+1}-x_n $ mais c'est difficile à cause de la définition implicite de la suite.
Re: Équivalent DA de suite implicite
il y a neuf mois
avatar
Bonjour,
Si $(x_n)$ est majorée par un $A$, alors $x_n \ln x_n$ est majoré par $A \ln A$ par croissance de $x \mapsto x \ln x$ : impossible ! Et $(x_n)$ croît, toujours par croissance de $x \mapsto x \ln x$. Donc $x_n \longrightarrow \infty$.
Re: Équivalent DA de suite implicite
il y a neuf mois
OK merci ! Cela dit $x\ln(x)$ est croissante sur $[1/e;+\infty[$ mais pas sur $]0;1/e[$, et on ne connait pas $x_0$...



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a neuf mois et a été effectuée par totem.
Dom
Re: Équivalent DA de suite implicite
il y a neuf mois
$x_0 \ln (x_0)=0$.
Nécessairement (là il faut un énoncé un peut plus rigoureux*) $x_0$ est strictement positif pour espérer appliquer le logarithme. La seule solution est $x_0=1$.

*notamment, commencer par démontrer que la suite est bien définie.

Remarque : ce n’est pas une suite récurrente, donc les premiers termes « n’influent » pas sur les suivants.
On pourrait très bien commencer à $n=10$.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a neuf mois et a été effectuée par Dom.
Re: Équivalent DA de suite implicite
il y a neuf mois
Ou alors on pose $0\ln(0) = 0$ (prolongement par continuité ) mais c'est un peu cavalier !

En effet ce n'est pas une suite récurrente...c'est une suite quoi du coup ?
Dom
Re: Équivalent DA de suite implicite
il y a neuf mois
Mais non voyons !
Si je traduis rigoureusement ce que je comprends.

Pour tout entier naturel $n$, on définit la suite $(x_n)_n$ par : $x_n\ln (x_n)=n$ et $x_n>0$.

La première chose à faire :
La suite $(x_n)_n$ est-elle bien définie ?
C’est-à-dire : existe-t-il au moins un $x_n$ pour chaque $n$ et s’il existe, est-il unique ?

Pour $n=0$, je n’en trouve qu’un seul.
Mais on peut poser ce que l’on veut de raisonnable.

Quand je dis « pas récurrente » je veux dire qu’on n’a pas donné (ici) une relation qui donne un terme en fonction des précédents. Bien entendu on peut certainement s’arranger pour le faire, enfin je pense.
Je veux dire que pour les relations $u_{n+1}=f(u_n)$ on a besoin d’un terme initial pour connaître tous les termes mais pas ici.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a neuf mois et a été effectuée par Dom.
Re: Équivalent DA de suite implicite
il y a neuf mois
Chaurien écrivait : [www.les-mathematiques.net]
[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]
-------------------------------------------------------
Pourrais tu détailler ce calcul ou les grandes lignes parce que je n’arrive pas au résultat.
Merci :)



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a neuf mois et a été effectuée par AD.
Re: Équivalent DA de suite implicite
il y a neuf mois
On part de : $x_{n}\sim \frac{n}{\ln n}$, qui se traduit par : $x_{n}=\frac{n}{\ln n}(1+\alpha _{n})$, $\alpha _{n}\rightarrow 0$.
On en déduit : $\ln x_{n}=\ln n-\ln \ln n+\ln (1+\alpha _{n})$, d'où : $n=x_{n}\ln x_{n}=\frac{n}{\ln n}(1+\alpha _{n})(\ln n-\ln \ln n+\ln(1+\alpha _{n}))$.
En conséquence : $1=(1+\alpha _{n})(1-\frac{\ln \ln n}{\ln n}+\frac{\ln (1+\alpha _{n})}{\ln n%
})=1-\frac{\ln \ln n}{\ln n}+\frac{\ln (1+\alpha _{n})}{\ln n}+\alpha _{n}(1-%
\frac{\ln \ln n}{\ln n}+\frac{\ln (1+\alpha _{n})}{\ln n})$.
Et par suite : $\alpha _{n}(1-\frac{\ln \ln n}{\ln n}+\frac{\ln (1+\alpha _{n})}{\ln n})=\frac{\ln \ln n}{\ln n}(1-\frac{\ln (1+\alpha _{n})}{\ln \ln n})$, qui implique finalement : $\alpha _{n}\sim \frac{\ln \ln n}{\ln n}$.
Bonne soirée.
Fr. Ch.
29/08/2019
Re: Équivalent DA de suite implicite
il y a neuf mois
En fait j’ai fini par trouver merci :)



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a neuf mois et a été effectuée par AD.
Re: Équivalent DA de suite implicite
il y a neuf mois
AH bah génial :)) c’est la meme
Merci pour ton aide
Re: Équivalent DA de suite implicite
il y a neuf mois
Bonjour
tu as $y_n=x_n/n=1/\log(n)(1+a_n) $ où $a_n=o(1)$.

Il faut alors remplacer dans l'équation et simplifier ce qui donne
$a_n- ((1+a_) (\log[1+a_]-\log[\log[n_]]))/\log[n]=0$
c'est-à-dire
$a_n=\log[\log[n_]]))/\log[n](1+o(1))$



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a neuf mois et a été effectuée par AD.
Re: Équivalent DA de suite implicite
il y a neuf mois
Mais on pourrait continuer comme ça infiniment non ?



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a neuf mois et a été effectuée par AD.
Re: Équivalent DA de suite implicite
il y a neuf mois
En principe, on peut continuer indéfiniment, oui. Voici l'étape suivante.

On part de : $\alpha _{n}\sim \frac{\ln \ln n}{\ln n}$, qui se traduit par : $\alpha _{n}=\frac{\ln \ln n}{\ln n}(1+\beta _{n})$, $\beta _{n}\rightarrow 0$.

On en déduit :
$x_{n}=\frac{n}{\ln n}(1+\frac{\ln \ln n}{\ln n}(1+\beta _{n}))$, et : $\ln x_{n}=\ln n-\ln \ln n+\ln (1+\frac{\ln \ln n}{\ln n}(1+\beta _{n}))$.

On pose : $\xi _{n}=\ln (1+\frac{\ln \ln n}{\ln n}(1+\beta _{n}))\sim \frac{\ln \ln n}{\ln n}$.
Et il vient : $\ln x_{n}=(\ln n)(1-\frac{\ln \ln n}{\ln n}+\frac{\xi _{n}}{\ln n})$

Reportons ceci dans la définition de la suite $x_n$ :
$n=x_{n}\ln x_{n}=\frac{n}{\ln n}(1+\frac{\ln \ln n}{\ln n}+\beta _{n}\frac{\ln \ln n}{\ln n})(\ln n)(1-\frac{\ln \ln n}{\ln n}+\frac{\xi _{n}}{\ln n})$,
Simplifions : $1=(1+\frac{\ln \ln n}{\ln n}+\beta _{n}\frac{\ln \ln n}{\ln n})(1-\frac{\ln\ln n}{\ln n}+\frac{\xi _{n}}{\ln n})$
$~~~~~~~~~=1-\frac{\ln \ln n}{\ln n}+\frac{\xi _{n}}{\ln n}+\frac{%
\ln \ln n}{\ln n}-(\frac{\ln \ln n}{\ln n})^{2}+\frac{\xi _{n}\ln \ln n}{%
(\ln n)^{2}}+\beta _{n}\frac{\ln \ln n}{\ln n}(1-\frac{\ln \ln n}{\ln n}+\frac{\xi _{n}}{\ln n})$,
et enfin : $\beta _{n}\frac{\ln \ln n}{\ln n}(1-\frac{\ln \ln n}{\ln n}+\frac{\xi _{n}}{\ln n})=(\frac{\ln \ln n}{\ln n})^{2}(1-\frac{\xi _{n}\ln n}{(\ln \ln n)^{2}}-\frac{\xi _{n}}{\ln \ln n})$.
L'équivalent de $\xi_n$ donné plus haut permet de conclure : $\beta_n \sim \frac{\ln \ln n}{\ln n}$.
En espérant qu'il n'y a pas trop de fautes de calcul.

En principe, on peut continuer indéfiniment, j'ai dit. En pratique, ça se complique de plus en plus, et les calculs deviennent impraticables.

Bonne journée, et bonne rentrée à mes collègues professeurs.
Fr. Ch.
30/08/2019
Re: Équivalent DA de suite implicite
il y a neuf mois
@Chaurien : ça se complique mais $\alpha_n$ , $\beta_n $et $\xi _n $ sont tous de la même forme ?? hasard ?
Re: Équivalent DA de suite implicite
il y a neuf mois
Moi aussi ça m'a surpris, mais je n'en sais pas plus.
Il faut vérifier qu'il n'y a pas de faute de calcul.
Re: Équivalent DA de suite implicite
il y a neuf mois
avatar
Bonjour,
Chaurien, je trouve le même résultat que vous en ayant mener les calculs différemment. Pour le terme suivant du développement, je trouve $\beta_n = \frac{\ln\ln n}{\ln n}(1+\gamma_n)$ avec $\gamma_n \sim - \frac{1}{\ln \ln n}$ ce qui semble briser notre beau motif (mais je ne suis pas plus à l'abri des erreurs de calculs que quiconque).

Pour le 2e terme, on écrit : $\displaystyle x_n - \frac{n}{\ln n} = n\left(\frac1{\ln x_n} - \frac1{\ln n}\right) = \frac{n \ln(n/x_n)}{\ln n \ln x_n} = \frac{n}{\ln n} \frac{\ln \ln x_n}{\ln x_n} \sim \frac{n}{\ln n} \frac{\ln \ln n}{\ln n}$.

Pour le 3e terme, on doit calculer : $\displaystyle x_n - \frac{n}{\ln n} - \frac{n}{\ln n} \frac{\ln \ln n}{\ln n} = \frac{n}{\ln n} \left[ \frac{\ln \ln x_n}{\ln x_n} - \frac{\ln \ln n}{\ln n} \right]$. Pour plus de clarté, j'isole les crochets :

$$ \begin{eqnarray} \frac{\ln \ln x_n}{\ln x_n} - \frac{\ln \ln n}{\ln n}
&=& \frac{\ln \ln x_n - \ln \ln n}{\ln x_n} + \ln\ln n \left(\frac1{\ln x_n} - \frac1{\ln n}\right) \\
&=& - \frac1{\ln x_n} \ln \left(\frac{\ln n}{\ln x_n}\right) + \frac{\ln\ln n}{\ln n} \frac{\ln \ln x_n}{\ln x_n} \text{ cf. plus tôt pour le terme de droite}\\
&=& - \frac1{\ln x_n} \ln \left(1 + \frac{\ln\ln x_n}{\ln x_n}\right) + \frac{\ln\ln n}{\ln n} \frac{\ln \ln x_n}{\ln x_n} \text{ } (*)\\
&=& - \frac{\ln\ln n}{\ln^2 n} (1+o(1)) + \left(\frac{\ln\ln n}{\ln n}\right)^2 (1+o(1))\\
&\sim& \left(\frac{\ln\ln n}{\ln n}\right)^2\\
\end{eqnarray} $$

Pour le 4e terme, on injecte le DA de $\frac{\ln \ln x_n}{\ln x_n}$ dans $(*)$ : $\displaystyle \frac{\ln \ln x_n}{\ln x_n} - \frac{\ln \ln n}{\ln n} = - \frac{\ln\ln n}{\ln^2 n} (1+o(1)) + \left(\frac{\ln\ln n}{\ln n}\right)^2 + \left(\frac{\ln\ln n}{\ln n}\right)^3 (1+o(1))$.

Bref, $\displaystyle x_n = \frac{n}{\ln n} \left[ 1 + \frac{\ln \ln n}{\ln n} + \left(\frac{\ln\ln n}{\ln n}\right)^2 - \frac{\ln\ln n}{\ln^2 n} + o\left(\frac{\ln\ln n}{\ln^2 n}\right)\right]$.
Re: Équivalent DA de suite implicite
il y a neuf mois
avatar
On connait le DA de W, c'est utile?

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