Équivalent DA de suite implicite
dans Analyse
Bonjour à tous
On a une suite (Xn) tq: Xn*ln(Xn)=n
J’ai trouvé un equivalent de Xn: ln(n)/n au l’on appelle Cn
Mais je ne trouve pas d’équivalent de Xn-Cn
Quelqu’un aurait des conseils?
On a une suite (Xn) tq: Xn*ln(Xn)=n
J’ai trouvé un equivalent de Xn: ln(n)/n au l’on appelle Cn
Mais je ne trouve pas d’équivalent de Xn-Cn
Quelqu’un aurait des conseils?
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Réponses
Bonne soirée.
Fr. Ch.
Personnellement je trouve
$x_n=n/\ln(n) + n \ln( \ln(n) )/\ln(n)^2(1+o(1)) $
c'est à dire que j'ai un carré au dénominateur de $\alpha_n$
Nous trouvons la même chose, bd2017 et moi. Pour ma part, pas besoin de Cesàro, juste la conduite des calculs à partir de $x_{n}= \frac{n}{\ln n}(1+\alpha _{n})$, $\alpha _{n}\rightarrow 0$.
Bon courage et bonne soirée.
Fr. Ch.
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Merci pour ta réponse
Je me suis trompé en recopiant désolé
Par contre je ne vois pas en quoi ça nous avance pour l’équivalent de Xn-Cn
Pour obtenir que l’equivalent de Xn est n/ln(n) j’ai composé l’égalité Xn*ln(Xn)=n par ln et ensuite j’ai remplacé ln(Xn) par n/xn
Merci!!
J'obtiens $$\frac{n}{x_n}+ \ln \big(\frac{n}{x_n}\big)=\ln(n).
$$ Les croissances comparées suffisent à conclure ? le $x_n$ au dénominateur me gêne...
On a : $\ln x_n+\ln \ln x_n=\ln n$. D'où : $\ln x_n \sim \ln n$. On reporte dans : $ x_n \ln x_n =n$.
Bonne nuit.
Fr. Ch.
Et $x_n \rightarrow +\infty$ c'est trivial ?? j'ai essayé d'étudier le signe de $x_{n+1}-x_n $ mais c'est difficile à cause de la définition implicite de la suite.
Si $(x_n)$ est majorée par un $A$, alors $x_n \ln x_n$ est majoré par $A \ln A$ par croissance de $x \mapsto x \ln x$ : impossible ! Et $(x_n)$ croît, toujours par croissance de $x \mapsto x \ln x$. Donc $x_n \longrightarrow \infty$.
Nécessairement (là il faut un énoncé un peut plus rigoureux*) $x_0$ est strictement positif pour espérer appliquer le logarithme. La seule solution est $x_0=1$.
*notamment, commencer par démontrer que la suite est bien définie.
Remarque : ce n’est pas une suite récurrente, donc les premiers termes « n’influent » pas sur les suivants.
On pourrait très bien commencer à $n=10$.
En effet ce n'est pas une suite récurrente...c'est une suite quoi du coup ?
Si je traduis rigoureusement ce que je comprends.
Pour tout entier naturel $n$, on définit la suite $(x_n)_n$ par : $x_n\ln (x_n)=n$ et $x_n>0$.
La première chose à faire :
La suite $(x_n)_n$ est-elle bien définie ?
C’est-à-dire : existe-t-il au moins un $x_n$ pour chaque $n$ et s’il existe, est-il unique ?
Pour $n=0$, je n’en trouve qu’un seul.
Mais on peut poser ce que l’on veut de raisonnable.
Quand je dis « pas récurrente » je veux dire qu’on n’a pas donné (ici) une relation qui donne un terme en fonction des précédents. Bien entendu on peut certainement s’arranger pour le faire, enfin je pense.
Je veux dire que pour les relations $u_{n+1}=f(u_n)$ on a besoin d’un terme initial pour connaître tous les termes mais pas ici.
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Pourrais tu détailler ce calcul ou les grandes lignes parce que je n’arrive pas au résultat.
Merci
On en déduit : $\ln x_{n}=\ln n-\ln \ln n+\ln (1+\alpha _{n})$, d'où : $n=x_{n}\ln x_{n}=\frac{n}{\ln n}(1+\alpha _{n})(\ln n-\ln \ln n+\ln(1+\alpha _{n}))$.
En conséquence : $1=(1+\alpha _{n})(1-\frac{\ln \ln n}{\ln n}+\frac{\ln (1+\alpha _{n})}{\ln n%
})=1-\frac{\ln \ln n}{\ln n}+\frac{\ln (1+\alpha _{n})}{\ln n}+\alpha _{n}(1-%
\frac{\ln \ln n}{\ln n}+\frac{\ln (1+\alpha _{n})}{\ln n})$.
Et par suite : $\alpha _{n}(1-\frac{\ln \ln n}{\ln n}+\frac{\ln (1+\alpha _{n})}{\ln n})=\frac{\ln \ln n}{\ln n}(1-\frac{\ln (1+\alpha _{n})}{\ln \ln n})$, qui implique finalement : $\alpha _{n}\sim \frac{\ln \ln n}{\ln n}$.
Bonne soirée.
Fr. Ch.
29/08/2019
Merci pour ton aide
tu as $y_n=x_n/n=1/\log(n)(1+a_n) $ où $a_n=o(1)$.
Il faut alors remplacer dans l'équation et simplifier ce qui donne
$a_n- ((1+a_) (\log[1+a_]-\log[\log[n_]]))/\log[n]=0$
c'est-à-dire
$a_n=\log[\log[n_]]))/\log[n](1+o(1))$
On part de : $\alpha _{n}\sim \frac{\ln \ln n}{\ln n}$, qui se traduit par : $\alpha _{n}=\frac{\ln \ln n}{\ln n}(1+\beta _{n})$, $\beta _{n}\rightarrow 0$.
On en déduit :
$x_{n}=\frac{n}{\ln n}(1+\frac{\ln \ln n}{\ln n}(1+\beta _{n}))$, et : $\ln x_{n}=\ln n-\ln \ln n+\ln (1+\frac{\ln \ln n}{\ln n}(1+\beta _{n}))$.
On pose : $\xi _{n}=\ln (1+\frac{\ln \ln n}{\ln n}(1+\beta _{n}))\sim \frac{\ln \ln n}{\ln n}$.
Et il vient : $\ln x_{n}=(\ln n)(1-\frac{\ln \ln n}{\ln n}+\frac{\xi _{n}}{\ln n})$
Reportons ceci dans la définition de la suite $x_n$ :
$n=x_{n}\ln x_{n}=\frac{n}{\ln n}(1+\frac{\ln \ln n}{\ln n}+\beta _{n}\frac{\ln \ln n}{\ln n})(\ln n)(1-\frac{\ln \ln n}{\ln n}+\frac{\xi _{n}}{\ln n})$,
Simplifions : $1=(1+\frac{\ln \ln n}{\ln n}+\beta _{n}\frac{\ln \ln n}{\ln n})(1-\frac{\ln\ln n}{\ln n}+\frac{\xi _{n}}{\ln n})$
$~~~~~~~~~=1-\frac{\ln \ln n}{\ln n}+\frac{\xi _{n}}{\ln n}+\frac{%
\ln \ln n}{\ln n}-(\frac{\ln \ln n}{\ln n})^{2}+\frac{\xi _{n}\ln \ln n}{%
(\ln n)^{2}}+\beta _{n}\frac{\ln \ln n}{\ln n}(1-\frac{\ln \ln n}{\ln n}+\frac{\xi _{n}}{\ln n})$,
et enfin : $\beta _{n}\frac{\ln \ln n}{\ln n}(1-\frac{\ln \ln n}{\ln n}+\frac{\xi _{n}}{\ln n})=(\frac{\ln \ln n}{\ln n})^{2}(1-\frac{\xi _{n}\ln n}{(\ln \ln n)^{2}}-\frac{\xi _{n}}{\ln \ln n})$.
L'équivalent de $\xi_n$ donné plus haut permet de conclure : $\beta_n \sim \frac{\ln \ln n}{\ln n}$.
En espérant qu'il n'y a pas trop de fautes de calcul.
En principe, on peut continuer indéfiniment, j'ai dit. En pratique, ça se complique de plus en plus, et les calculs deviennent impraticables.
Bonne journée, et bonne rentrée à mes collègues professeurs.
Fr. Ch.
30/08/2019
Il faut vérifier qu'il n'y a pas de faute de calcul.
Chaurien, je trouve le même résultat que vous en ayant mener les calculs différemment. Pour le terme suivant du développement, je trouve $\beta_n = \frac{\ln\ln n}{\ln n}(1+\gamma_n)$ avec $\gamma_n \sim - \frac{1}{\ln \ln n}$ ce qui semble briser notre beau motif (mais je ne suis pas plus à l'abri des erreurs de calculs que quiconque).
Pour le 2e terme, on écrit : $\displaystyle x_n - \frac{n}{\ln n} = n\left(\frac1{\ln x_n} - \frac1{\ln n}\right) = \frac{n \ln(n/x_n)}{\ln n \ln x_n} = \frac{n}{\ln n} \frac{\ln \ln x_n}{\ln x_n} \sim \frac{n}{\ln n} \frac{\ln \ln n}{\ln n}$.
Pour le 3e terme, on doit calculer : $\displaystyle x_n - \frac{n}{\ln n} - \frac{n}{\ln n} \frac{\ln \ln n}{\ln n} = \frac{n}{\ln n} \left[ \frac{\ln \ln x_n}{\ln x_n} - \frac{\ln \ln n}{\ln n} \right]$. Pour plus de clarté, j'isole les crochets :
$$ \begin{eqnarray} \frac{\ln \ln x_n}{\ln x_n} - \frac{\ln \ln n}{\ln n}
&=& \frac{\ln \ln x_n - \ln \ln n}{\ln x_n} + \ln\ln n \left(\frac1{\ln x_n} - \frac1{\ln n}\right) \\
&=& - \frac1{\ln x_n} \ln \left(\frac{\ln n}{\ln x_n}\right) + \frac{\ln\ln n}{\ln n} \frac{\ln \ln x_n}{\ln x_n} \text{ cf. plus tôt pour le terme de droite}\\
&=& - \frac1{\ln x_n} \ln \left(1 + \frac{\ln\ln x_n}{\ln x_n}\right) + \frac{\ln\ln n}{\ln n} \frac{\ln \ln x_n}{\ln x_n} \text{ } (*)\\
&=& - \frac{\ln\ln n}{\ln^2 n} (1+o(1)) + \left(\frac{\ln\ln n}{\ln n}\right)^2 (1+o(1))\\
&\sim& \left(\frac{\ln\ln n}{\ln n}\right)^2\\
\end{eqnarray} $$
Pour le 4e terme, on injecte le DA de $\frac{\ln \ln x_n}{\ln x_n}$ dans $(*)$ : $\displaystyle \frac{\ln \ln x_n}{\ln x_n} - \frac{\ln \ln n}{\ln n} = - \frac{\ln\ln n}{\ln^2 n} (1+o(1)) + \left(\frac{\ln\ln n}{\ln n}\right)^2 + \left(\frac{\ln\ln n}{\ln n}\right)^3 (1+o(1))$.
Bref, $\displaystyle x_n = \frac{n}{\ln n} \left[ 1 + \frac{\ln \ln n}{\ln n} + \left(\frac{\ln\ln n}{\ln n}\right)^2 - \frac{\ln\ln n}{\ln^2 n} + o\left(\frac{\ln\ln n}{\ln^2 n}\right)\right]$.