Équivalent DA de suite implicite

Bonjour
Personnellement je trouve
$x_n=n/\ln(n) + n \ln( \ln(n) )/\ln(n)^2(1+o(1)) $
c'est à dire que j'ai un carré au dénominateur de $\alpha_n$

@ totem
Nous trouvons la même chose, bd2017 et moi. Pour ma part, pas besoin de Cesàro, juste la conduite des calculs à partir de $x_{n}= \frac{n}{\ln n}(1+\alpha _{n})$, $\alpha _{n}\rightarrow 0$.
Bon courage et bonne soirée.
Fr. Ch.

On peut continuer, et poser : $\alpha_{n}= \frac{\ln \ln n}{\ln n}(1+\beta _{n})$, $\beta _{n} \rightarrow 0$, et je trouve (encore) : $\beta _{n}\sim \frac{\ln \ln n}{\ln n}$. Sans garantie contre les erreurs de calcul.

De $x_n \rightarrow +\infty$ il résulte : $\ln x_n+\ln \ln x_n \sim \ln x_n$.
On a : $\ln x_n+\ln \ln x_n=\ln n$. D'où : $\ln x_n \sim \ln n$. On reporte dans : $ x_n \ln x_n =n$.
Bonne nuit.
Fr. Ch.

Bonjour,
Si $(x_n)$ est majorée par un $A$, alors $x_n \ln x_n$ est majoré par $A \ln A$ par croissance de $x \mapsto x \ln x$ : impossible ! Et $(x_n)$ croît, toujours par croissance de $x \mapsto x \ln x$. Donc $x_n \longrightarrow \infty$.

$x_0 \ln (x_0)=0$.
Nécessairement (là il faut un énoncé un peut plus rigoureux*) $x_0$ est strictement positif pour espérer appliquer le logarithme. La seule solution est $x_0=1$.

*notamment, commencer par démontrer que la suite est bien définie.

Remarque : ce n’est pas une suite récurrente, donc les premiers termes « n’influent » pas sur les suivants.
On pourrait très bien commencer à $n=10$.

Mais non voyons !
Si je traduis rigoureusement ce que je comprends.

Pour tout entier naturel $n$, on définit la suite $(x_n)_n$ par : $x_n\ln (x_n)=n$ et $x_n>0$.

La première chose à faire :
La suite $(x_n)_n$ est-elle bien définie ?
C’est-à-dire : existe-t-il au moins un $x_n$ pour chaque $n$ et s’il existe, est-il unique ?

Pour $n=0$, je n’en trouve qu’un seul.
Mais on peut poser ce que l’on veut de raisonnable.

Quand je dis « pas récurrente » je veux dire qu’on n’a pas donné (ici) une relation qui donne un terme en fonction des précédents. Bien entendu on peut certainement s’arranger pour le faire, enfin je pense.
Je veux dire que pour les relations $u_{n+1}=f(u_n)$ on a besoin d’un terme initial pour connaître tous les termes mais pas ici.

On part de : $x_{n}\sim \frac{n}{\ln n}$, qui se traduit par : $x_{n}=\frac{n}{\ln n}(1+\alpha _{n})$, $\alpha _{n}\rightarrow 0$.
On en déduit : $\ln x_{n}=\ln n-\ln \ln n+\ln (1+\alpha _{n})$, d'où : $n=x_{n}\ln x_{n}=\frac{n}{\ln n}(1+\alpha _{n})(\ln n-\ln \ln n+\ln(1+\alpha _{n}))$.
En conséquence : $1=(1+\alpha _{n})(1-\frac{\ln \ln n}{\ln n}+\frac{\ln (1+\alpha _{n})}{\ln n%
})=1-\frac{\ln \ln n}{\ln n}+\frac{\ln (1+\alpha _{n})}{\ln n}+\alpha _{n}(1-%
\frac{\ln \ln n}{\ln n}+\frac{\ln (1+\alpha _{n})}{\ln n})$.
Et par suite : $\alpha _{n}(1-\frac{\ln \ln n}{\ln n}+\frac{\ln (1+\alpha _{n})}{\ln n})=\frac{\ln \ln n}{\ln n}(1-\frac{\ln (1+\alpha _{n})}{\ln \ln n})$, qui implique finalement : $\alpha _{n}\sim \frac{\ln \ln n}{\ln n}$.
Bonne soirée.
Fr. Ch.
29/08/2019

@Chaurien : ça se complique mais $\alpha_n$ , $\beta_n $et $\xi _n $ sont tous de la même forme ?? hasard ?

Bonjour,
Chaurien, je trouve le même résultat que vous en ayant mener les calculs différemment. Pour le terme suivant du développement, je trouve $\beta_n = \frac{\ln\ln n}{\ln n}(1+\gamma_n)$ avec $\gamma_n \sim - \frac{1}{\ln \ln n}$ ce qui semble briser notre beau motif (mais je ne suis pas plus à l'abri des erreurs de calculs que quiconque).

Pour le 2e terme, on écrit : $\displaystyle x_n - \frac{n}{\ln n} = n\left(\frac1{\ln x_n} - \frac1{\ln n}\right) = \frac{n \ln(n/x_n)}{\ln n \ln x_n} = \frac{n}{\ln n} \frac{\ln \ln x_n}{\ln x_n} \sim \frac{n}{\ln n} \frac{\ln \ln n}{\ln n}$.

Pour le 3e terme, on doit calculer : $\displaystyle x_n - \frac{n}{\ln n} - \frac{n}{\ln n} \frac{\ln \ln n}{\ln n} = \frac{n}{\ln n} \left[ \frac{\ln \ln x_n}{\ln x_n} - \frac{\ln \ln n}{\ln n} \right]$. Pour plus de clarté, j'isole les crochets :

$$ \begin{eqnarray} \frac{\ln \ln x_n}{\ln x_n} - \frac{\ln \ln n}{\ln n}
&=& \frac{\ln \ln x_n - \ln \ln n}{\ln x_n} + \ln\ln n \left(\frac1{\ln x_n} - \frac1{\ln n}\right) \\
&=& - \frac1{\ln x_n} \ln \left(\frac{\ln n}{\ln x_n}\right) + \frac{\ln\ln n}{\ln n} \frac{\ln \ln x_n}{\ln x_n} \text{ cf. plus tôt pour le terme de droite}\\
&=& - \frac1{\ln x_n} \ln \left(1 + \frac{\ln\ln x_n}{\ln x_n}\right) + \frac{\ln\ln n}{\ln n} \frac{\ln \ln x_n}{\ln x_n} \text{ } (*)\\
&=& - \frac{\ln\ln n}{\ln^2 n} (1+o(1)) + \left(\frac{\ln\ln n}{\ln n}\right)^2 (1+o(1))\\
&\sim& \left(\frac{\ln\ln n}{\ln n}\right)^2\\
\end{eqnarray} $$

Pour le 4e terme, on injecte le DA de $\frac{\ln \ln x_n}{\ln x_n}$ dans $(*)$ : $\displaystyle \frac{\ln \ln x_n}{\ln x_n} - \frac{\ln \ln n}{\ln n} = - \frac{\ln\ln n}{\ln^2 n} (1+o(1)) + \left(\frac{\ln\ln n}{\ln n}\right)^2 + \left(\frac{\ln\ln n}{\ln n}\right)^3 (1+o(1))$.

Bref, $\displaystyle x_n = \frac{n}{\ln n} \left[ 1 + \frac{\ln \ln n}{\ln n} + \left(\frac{\ln\ln n}{\ln n}\right)^2 - \frac{\ln\ln n}{\ln^2 n} + o\left(\frac{\ln\ln n}{\ln^2 n}\right)\right]$.