Expression explicite d'une suite
Réponses
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Bonsoir.
Ça ne t'aurait pas coûté très cher de mettre
u_{n+1} = 0.5u_n + 0.5\sqrt{u_n^2+\frac{a}{4^n}}
entre des $\$ $, ce qui donne
$u_{n+1} = 0.5u_n + 0.5\sqrt{u_n^2+\frac{a}{4^n}}$
Sinon, qu'est-ce qui te fait penser que $u_n$ serait exprimable simplement ?
Cordialement. -
bonsoir
je ne suis pas sûr que $u_n$ soit explicitable
par contre tu peux transformer ton équation récurrente : si a > 0 tu poses $u_n = \frac{\sqrt{a}}{2^n}.sh(t_n)$
avec sh le sinus hyperbolique et $t_n$ variable réel paramétrée avec n
ton équation récurrente devient : $ 2\frac{\sqrt{a}}{2^{n+1}}.sh(t_{n+1}) = \frac{\sqrt{a}}{2^n}e^{t_n}$
soit encore : $sh(t_{n+1}) = e^{t_n}$
le point fixe n'existe pas et on ne peut guère aller plus loin
si a < 0 alors il faut poser $u_n = \frac{\sqrt{-a}}{2^n}ch(t_n)$ en supposant tous les termes positifs
avec ch le cosinus hyperbolique
et tu obtiens $ch(t_{n+1}) = e^{t_n}$
équation récurrente qui n'est guère plus sympathique
cordialement -
Ok Gérard, latex je ne connais pas :-(
En fait ma question découle d'un exercice : soit (z(n)) une suite de complexes telle que pour tout entier n, z(n+1) = 0.5(z(n) + |z(n)|) et z(0) complexe quelconque.
Il est demandé d'exprimer z(n) en fonction de n, puis d'étudier la convergence de (z(n)).
En passant par z(n) = u(n) + i v(n), v(n) est géométrique, et pour trouver u(n) on aboutit à la relation de récurrence de mon message initial.
J'ai peut-être loupé qqch sinon, mais je ne vois pas comment expliciter (z(n)) !
Bonne soirée -
Peut-être qu’écrire $|u|=u\bar u$ peut servir.
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Passe en forme exponentielle et essaye de conjecturer le terme général sur les premiers termes (il doit sûrement y avoir un produit de cos).
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$z_n=r_ne^{it_n}$ entraine $t_{n+1}=t_n/2$ et $r_{n+1}=r_n\cos (t_n/2).$ Apres ca tu auras besoin de $$\prod_{k=1}^n\cos (t/2^k)=\frac{\sin t}{2^n\sin (t/2^n)}.$$
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Par une méthode rudimentaire, je parviens à attraper la partie imaginaire de la suite (c’est une suite géométrique).
Mais la partie réelle m’embête.
Ha ! En effet, les derniers messages me rassurent ;-)
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