Expression explicite d'une suite

bonsoir

je ne suis pas sûr que $u_n$ soit explicitable

par contre tu peux transformer ton équation récurrente : si a > 0 tu poses $u_n = \frac{\sqrt{a}}{2^n}.sh(t_n)$
avec sh le sinus hyperbolique et $t_n$ variable réel paramétrée avec n

ton équation récurrente devient : $ 2\frac{\sqrt{a}}{2^{n+1}}.sh(t_{n+1}) = \frac{\sqrt{a}}{2^n}e^{t_n}$

soit encore : $sh(t_{n+1}) = e^{t_n}$

le point fixe n'existe pas et on ne peut guère aller plus loin

si a < 0 alors il faut poser $u_n = \frac{\sqrt{-a}}{2^n}ch(t_n)$ en supposant tous les termes positifs
avec ch le cosinus hyperbolique

et tu obtiens $ch(t_{n+1}) = e^{t_n}$

équation récurrente qui n'est guère plus sympathique

cordialement

Peut-être qu’écrire $|u|=u\bar u$ peut servir.

$z_n=r_ne^{it_n}$ entraine $t_{n+1}=t_n/2$ et $r_{n+1}=r_n\cos (t_n/2).$ Apres ca tu auras besoin de $$\prod_{k=1}^n\cos (t/2^k)=\frac{\sin t}{2^n\sin (t/2^n)}.$$