Norme infinie d'une fonction

Maths 2121
Maths 2121
dans Analyse
Bonjour je dois calculer la norme infinie de la fonction définie sur R+ qui à x associe x/(a+x) avec a>0
On voit facilement que cette norme est inférieure ou égale à 1.
Je ne sais pas par contre si il y a égalité. Cette fonction est croissante vaut 0 en 0 et a pour limite 1 en plus l'infini. Est-ce que c'est suffisant pour conclure que la norme
infinie de f vaut 1 ?

Réponses

  • Dom
    Dom
    Un $\sup$ n’est pas forcément atteint.
    Quand il est atteint, on dit, en plus, que c’est un $\max$.

    La stricte croissance et la limite en $+\infty$ égale à $1$ sont suffisants, oui.
    Par contre, attention quand on est proche de $-a$ lorsque l’on ne travaille pas que sur $\R^+$.
  • Poirot
    Poirot
    Oui l'argument est suffisant, le mieux serait de démontrer formellement que c'est suffisant !

    Montre, en utilisant la caractérisation de la borne supérieure et ce que tu as dit, que $\sup\{\left|\frac{x}{a+x}\right| \mid x\in \mathbb R^+\} = 1$.
  • totem
    totem
    @Poirot ou Dom : la fonction ici admet un $\sup$ mais par contre elle n'admet pas de $\max$ ?
  • Poirot
    Poirot
    @totem : à toi de voir s'il existe $x \geq 0$ tel que $\frac{x}{x+a} = 1$.
  • totem
    totem
    Ben non...? C'est une bijection de $[0;+\infty[$ dans $[0;1[$...
  • Maths 2121
    Maths 2121
    Merci beaucoup pour votre aide
  • Dom
    Dom
    Alors tu as ta réponse, totem ;-)
    Un $\sup$ mais pas un $\max$.
  • totem
    totem
    Donc $\max \Rightarrow \sup$ mais la réciproque est fausse !
  • Dom
    Dom
    Oui !
  • gebrane
    gebrane
    Puisque on ne spécifie pas la propriété utilisée l’énoncé $\max \Rightarrow \sup$ n'est pas toujours vrai.

    edit je sais vous ne me croyez pas !
    Je considère comme propreté le fait de ne pas exister
    Est-ce que $\max\, n'existe~ pas\Rightarrow \sup\, n'existe ~pas$

    C’était dans le but de taquiner totem :-D
    Le 😄 Farceur


  • totem
    totem
    @gebrane : je te promets d'y réfléchir mais là j'ai un peu mal à la tête pour tes jeux de logique :-)
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.

Bonjour!

Pour participer au forum, cliquer sur l'un des boutons :

Connexion S'inscrire

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 13

JLTLirone93Matricule_63Sndiriklyraoul.Srferreol2 +6 Invités