Question sur les suites

gebrane
gebrane
dans Analyse
Bonjour
Soit $x_n$ et $y_n$ deux suites réelles ou complexes. On suppose que $$\lim_{n\to \infty} \frac {x_n}{y_n}=1.
$$ Je ne suppose rien d'autre.
Question Si l'une des suites tend vers $L$ (finie ou on), est-ce que l'autre suite tend aussi vers $L$
Si oui avez-vous une preuve ?
Si non avez-vous un contre-exemple ?
Source https://math.stackexchange.com/questions/971674/limits-of-two-equivalent-sequences
Le 😄 Farceur


Réponses

  • Poirot
    Poirot
    Oui. Dans le cas où la limite en question est finie non nulle, c'est juste la transitivité de la relation "être équivalent quand $n \to +\infty$", puisque $(x_n)_n$ converge vers $L$ veut exactement dire $x_n \underset{n \to +\infty}{\sim} L$.

    Le cas $l=+\infty$ est facile aussi : l'hypothèse implique que $x_n \neq 0$ et $y_n \neq 0$ à partir d'un certain rang. Par symétrie des rôles, on peut supposer que $x_n$ converge vers $+\infty$. Alors pour tout $M > 0$, on a $x_n \geq M$ à partir d'un certain rang $N_0$. Mais à partir d'un certain rang $N_1$, on a aussi $\frac{x_n}{y_n} \leq 2$, soit $y_n \geq \frac{x_n}{2}$. Alors pour $n \geq \max(N_0, N_1)$ on a $y_n \geq \frac{M}{2}$ et donc $(y_n)_n$ converge vers $+\infty$. Le cas $L = -\infty$ est similaire.

    Enfin le cas $L=0$ se traite en en remplaçant $(x_n)_n$ et $(y_n)_n$ par $(1/x_n)_n$ et $(1/y_n)_n$ respectivement.
  • gebrane
    gebrane
    Merci Poirot, je viens de te lire. Apparemment sur ME, ils ont un problème pour se mettre d'accord. https://math.stackexchange.com/questions/1423406/convergence-of-equivalent-sequences
    Le 😄 Farceur


  • Dom
    Dom
    Pardon mais ce n’est pas vraiment le même énoncé, non ?

    Je ne lis pas l’anglais ceci dit...
  • P.
    P.
    Menfin? $y_n\to L\Rightarrow x_n=y_n \times (x_n/y_n) \to L.$
  • gebrane
    gebrane
    M'enfin P sur ME ça discute la situation x_n/y_n--->1 et x_n --->0, peut-on écrire $y_n=x_n . y_n/x_n$
    Poirot a répondu :

    (si j'ai bien compris en première lecture si x_n/y_n--->1 alors y_n ne s'annule pas à partir d'un rang et aussi x_n ne s'annule pas à partir d'un rang)


    Je n'ai pas regardé les détails pour le moment edit Lu et approuvé
    Le 😄 Farceur


  • Dom
    Dom
    Pour moi ça joue, ça joue, ça s’amuse mais aucun énoncé n’est clair.
    Ça peut tergiverser longtemps !
  • gebrane
    gebrane
    Dom; je t'explique. Pour la notion d’équivalence, il y a deux définitions
    Def1$u_n\sim v_n\iff$ à partie d'une certain rang; $u_n=w_n.v_n$ avec $\lim_{n\to\infty} w_n=1$
    Def2 $u_n\sim v_n\iff \lim_{n\to\infty}\frac {u_n}{v_n}=1$
    On sait tous, avec la définition 1 que deux suites équivalentes ont la même limite.
    Sur ME, l auteur de la question adopte la définition 2, Question : deux suites équivalentes ont elles la même limite? d’après la discussion, il semble qu'il y a un désaccord entre les intervenants. Certains croient qu'on peut avoir $ \lim_{n\to\infty}\frac {x_n}{y_n}=1$ avec $x_n$ une suite qui s'annule à partir de tous les rangs
    Le 😄 Farceur


  • Dom
    Dom
    Prendre la définition 2, c’est se foutre de la tronche des gens.
    On sous-entend un quotient possible, déjà c'est suspect.
    On doute même sur le fait que la suite nulle ne serait pas équivalente à elle-même avec cette définition.
    Ce ne serait pas une relation d’équivalence, le fait que deux suites soient équivalentes ?


    Il n’y a pas de débat.
  • gebrane
    gebrane
    Dom écrivait On sous-entend un quotient possible, déjà c'est suspect.
    Si le rapport à une limite alors par définition le rapport est bien définie à partir d'un certain rang
    Dom écrivait On doute même sur le fait que la suite nulle ne serait pas équivalente à elle-même avec cette définition.
    la question ne porte pas si la relation $\sim$ avec la déf2 est une relation d’équivalence
    Dom écrivait Il n’y a pas de débat.
    Sans commentaire
    Le 😄 Farceur


  • Math Coss
    Math Coss
    La question est éclaircie par Bernard sur MSE : ces deux définitions ne sont équivalentes que si $(y_n)$ est non nulle à partir d'un certain rang. En fait, la définition 2 n'a pas de sens que pour les suites non nulles à partir d'un certain rang.

    Par exemple, les suites définies par $x_n=\sin\frac{n\pi}2=y_n$ pour tout $n$ sont équivalentes au sens de la définition 1 mais pas au sens de la définition 2, qui ne peut pas s'appliquer. Idem avec $x_n=\sin\frac{n\pi}2$ et $y_n=\frac{n}{n+1}\sin\frac{n\pi}2$ pour tout $n$.

    Remarque linguistique : la traduction en anglais de « suites équivalentes » n'est pas "equivalent sequences", cf. le premier commentaire de Squirtle.

    PS :
    une personne bien intentionnée a écrit:
    Pourquoi chercher des exemples compliqués ? La suite nulle est équivalente à elle même au sens de la definition 1, mais pas au sens de la définition 2.
    C'est tout à fait vrai. Il me semble utile d'avoir aussi en tête un exemple avec des suites qui ne sont pas nulles à partir d'un certain rang mais qui sont nulles infiniment souvent. Cela doit suggérer que ce qui compte, c'est que les deux suites s'annulent aux mêmes indices et que les suites extraites correspondant aux termes non nuls soient équivalentes.
  • ev
    ev
    P a écrit:
    Menfin? $y_n\to L\Rightarrow x_n=y_n \times (x_n/y_n) \to L.$
    Que voulez-vous ajouter (ou retrancher) à ça ?

    e.v.
    Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.


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