Analyse synthèse pour équation fonctionnelle

jeantonyk · August 2019

Bonjour, je bloque sur cet exercice, j'ai commencé comme ça par analyse synthèse, j'ai supposé qu'on avait $\forall n,m \in \mathbb{N} ,~ f(n+m)=f(n)f(m)$ donc en particulier $f(m)=f(0)f(m)$ donc $f(0)=1$, et $f(2n)=f(n)^2$. Merci. 89638

Tryss · August 2019

Petit indice :

\[f(n) = f(\underbrace{1+1+\cdots+1}_{n\text{ termes}} )\]

Et au passage, on n'a pas forcément $f(0)=1$, il existe un autre cas

jeantonyk · August 2019

le cas où $f(0)=0$ impliquerait que $f$ soit nulle., Merci pour l'indice, je ne sais pas pourquoi je n'y ai pas pensé.

Math Coss · August 2019

Variante : $f(0)^2=f(0)$ donc $f(0)$ vaut $0$ ou $1$ ; puis $f(n+1)=f(n)f(1)$ pour $n\ge0$ et, par une récurrence immédiate, $f(n)=f(0)\cdot f(1)^n$ pour tout $n$.

PS : j'aurais dû écrire « suite géométrique » quelque part.

Analyse synthèse pour équation fonctionnelle

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