Somme d'une série

Mirzakhani
Mirzakhani
dans Analyse
Salut, j'ai la série de terme général (-1)^n/(n+(-1)^n)
Après avoir établi sa convergence, je voudrais savoir comment calculer sa somme.
Merci d'avance.

Réponses

  • Titi le curieux
    Titi le curieux
    Je pense qu'en permutant chaque terme "pair" avec le terme "impair" suivant, tu auras une expression plus sympathique. La série de Taylor du logarithme neperien en 1 pourrait t'aider.
  • jean lismonde
    jean lismonde
    bonjour

    le terme général n'existe pas pour n = 1 et donc tu commences la somme à n = 2

    ta série A s'écrit directement : A = 1/3 - 1/4 + 1/5 - 1/6 +1/7 - .........

    or tu connais la série numérique élémentaire liée aux logarithmes népériens :

    $ln2 = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} -........+ (-1)^{n-1}\frac{1}{n} +.......$

    il vient A = ln2 - 1/2 = 0,19.....

    cordialement
  • Math Coss
    Math Coss
    Pas exactement, non. La série s'écrit \[\frac13-\frac12+\frac15-\frac14+\frac17-\frac16+\cdots\]et sa somme est strictement négative.
  • gebrane
    gebrane
    La série ne converge pas absolument. A priori on ne peut pas permuter ses termes
    Une idée on écrit le terme général de notre série sous forme $\frac {(-1)^n}{n}+w_n$ la série des $w_n$ converge absolument et on peut la calculer par sommation des pairs et impairs

    edit j'ai compliqué pour rien
    Le 😄 Farceur


  • Chaurien
    Chaurien
    On écrit la somme partielle :
    $S_{2n+1}= \frac 13 -\frac 12 +\frac 15-\frac 14+\cdots+\frac 1{2n+1}-\frac 1{2n}$,
    et là on peut permuter les termes, d'où :
    $S_{2n+1}=(1- \frac 12 +\frac 13 -\frac 14+\cdots-\frac 1{2n}+\frac 1 {2n+1})-1$,
    dont la limite est $\ln2-1$, qui est la somme de la série.
    Bonne journée.
    Fr. Ch.
    31/08/2019

    [size=x-small]Le trente et un du mois d'août,
    Le trente et un du mois d'août,
    Nous vîmes venir sous l'vent vers nous,
    Nous vîmes venir sous l'vent vers nous,
    Une frégate d'Angleterre
    Qui fendait l'air et puis les eaux,
    Voguant pour attaquer Bordeaux.

    Buvons un coup, buvons-en deux,
    À la santé des amoureux,
    Buvons un coup, buvons-en deux,
    À la santé des amoureux,
    À la santé du Roi de France,
    Et merd' pour le Roi d'Angleterre,
    Qui nous a déclaré la guerre !
    [/size]
  • Math Coss
    Math Coss
    Il manque un tout petit argument, que tu laisses peut-être délibérément dans l'implicite : la sous-suite des termes pairs $(S_{2n})_{n\in\N}$ converge vers la même limite que $(S_{2n+1})_{n\in\N}$. C'est immédiat dès que l'on constate que $S_{2n}-S_{2n+1}=O(1/n)$.
  • Chaurien
    Chaurien
    En effet, je n'ai pas rédigé complètement la solution, laissant au lecteur le soin de compléter.
    Pas besoin de Grand O, on a : $S_{2n}=S_{2n+1}+\frac 1{2n}$, qui a donc la même limite que $S_{2n+1}$, et cette limite est donc celle de $S_n$.
    On prouve ainsi que cette série est convergente, en même temps qu'on trouve sa limite.
    Bonne soirée.
    Fr. Ch.
  • Mirzakhani
    Mirzakhani
    Merci beaucoup pour vos réponses.
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