Composée monotone de fonctions non monotones
dans Analyse
Bonjour à tous,
Je cherche un exemple de fonction telle que décrite dans le titre. Avec des fonctions non continues j'ai un exemple mais avec des fonctions continues c'est plus difficile... Voire impossible ??
Merci d'avance pour votre aide !
Je cherche un exemple de fonction telle que décrite dans le titre. Avec des fonctions non continues j'ai un exemple mais avec des fonctions continues c'est plus difficile... Voire impossible ??
Merci d'avance pour votre aide !
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Réponses
Exemple f= sinus et g=f^[-1}= arsinus
Personnellement, la réponse de gebrane me dérange un peu, $\arcsin$ est monotone son domaine de définition( $[-1,1]$ ) et $\sin$ est monotone sur l'image par $\sin$ de cette intervalle ($[-\pi/2,\pi/2]$), donc $\sin\circ \arcsin$ ne convient pas. De plus, $\arcsin\circ \sin$ qui est définie sur $\mathbb{R}$ n'a rien de monotone. (oups, c'est pas défini partout, disons sur $[-\pi/2,\pi/2]$ en évoquant la même raison. Note: j'ai pas pu enregistrer la modification la première fois, parce que AD devait modifier une erreur typo ou une faute de français, parce que je suis mauvais, désolé AD).
Dans le cas de fonctions continues sur un domaine de définition qui serait un intervalle, je crains qu'on ne puisse trouver de solution (il faut faire un raisonnement à base du théorème des valeurs intermédiaires et de non injectivité des deux applications en cas de non monotonie).
Je trouve ta question intéressante: soit I un intervalle, peut-on trouver deux fonctions f et g continues et non monotone sur I avec une composée monotone sur I
Je crains que gebrane ait raison. L'idée proposée repose sur l'injectivité (si on veut que $f\circ g$ soit injective sur $I$ il faut que $g$ soit injective sur $I$ et $f$ injective sur $g(I)$ ), du coup, ça tient seulement si on veut que $f\circ g$ soit strictement monotone (auquel cas il faut que $f$ et $g$ soient strictement monotones sur les intervalles en question, car apparemment on ne pas intervaux, c'est ce que disent les petits pointillés rouges, pardon pour la digression, en fait c'est sur le lien entre stricte monotonie et injectivité qu'on fait appel au théorème des valeurs intermédiaires). Par contre, si on demande la monotonie mais pas la monotonie stricte, il n'est pas nécessaire que $g$ soit monotone pour que $f\circ g$ le soit, il suffit pour cela que $f$ soit constante sur "chaque image de zone où $g$ va dans le mauvais sens" (une fonction constante, c'est vachement monotone, d'ailleurs, moi, je ne trouve pas ça très intéressant. Là, je me dis qu'il faut que je me calme).
Un question qui me semble plus compliqué (mais si quelqu'un répond par la négative en le prouvant, je l'appellerai maître aussi longtemps que je traînerai sur ce forum et promet d'observer un peu plus régulièrement les rites pastafaristes, ce qui, finalement ne m'engage qu'à assez peu de choses):
Est-il nécessaire que $f$ soit monotone sur $g(I)$ pour que $f\circ g$ soit monotone sur $I$?
Non affirmatif ! prendre $f(x)=x^6$ et $g(x)=x^{1/3}$.
Suis-je maître d'échec ?:-D
-$f$ est injective
-$f$ est strictement monotone
On utilise le TVI (et un raisonnement par l'absurde en ce qui me concerne) pour montrer qu'injective implique strictement monotone.
Hum, moi dans ce genre de cas, surtout à cette heure, je plaide la fatigue.
Demain je vais regarder attentivement ta question
Ton raisonnement est le mème raisonnement que j'ai donné : si g est continue et n'est pas strictement monotone alors g n'est pas injective donc il existe $a\ne b$ et tu connais la suite
Un exemple où $g$ n'est pas strictement monotone sur $\mathbb R$ tout entier peut s’obtenir en adaptant l'idée de Gebrane ci-dessus :
prendre $f(x)=\arcsin \frac{x}{\left\vert x\right\vert +1}$ et $g(x)=\sin x$.
Bonne journée de ce 4 septembre, anniversaire de la proclamation de la Troisième République, qui nous donna les
« hussards noirs » que nous regrettons.
Fr. Ch.
PS: j'ai bien vu que je ne respecte pas tes notations, mais on est sur du $g\circ f$ et non $f\circ g$ depuis un certain nombre de messages, et j'ai trop peur qu'on s'embrouille si on change en cours de route. (Modification : en fait c'était le contraire, voilà, je me suis embrouillé, c'est dangereux ces choses-là !)
@gebrane : j'avoue que l'argument était le même, j'avais mal interprété le "(pourquoi ?)" sans faire le lien avec la première phrase du commentaire, alors que je trouve très classe de ne faire que des allusions afin que l'interlocuteur ait une chance de pouvoir trouver un raisonnement par lui-même. Je suis donc impardonnable (je ne vais pas pour autant t'appeler maître et me balader avec une passoire sur la tête avant que tu m'en donne LA raison (:P)).
Je tiens beaucoup a l'aspect $g$ non constante, même si je peux parader que je considère qu'une fonction définie sur un singleton est monotone, je ne veux pas prendre de risques inutiles!
Pour l'exemple, supposons $f\circ g$ croissante sur $I$. $z_1$ et $z_2$ avec $z_1\leq z_2$ sont des éléments de $I$, on nomme $a=g(z_1)$ et $b=g(z_2)$. On va montrer que $f$ est monotone sur $[a,b]$.
On suppose pour plus de convenance que $a\leq b$ (c'est la dernière fois que je pose une hypothèse supplémentaire, du coup, il y a quatre cas, mais on est tous vachement bon alors on fera des raisonnements disjonctifs de tête).
Soit $c,d\in [a,b]$ tels que $c\leq d$, $\forall \alpha \in [c,d]$, on a $\alpha \in [a,b]$ donc (TVI) $\exists z_3\in [z_1,z_2]$ tel que $g(z_3)=\alpha$, en réutilisant le TVI sur $[z_1,z_3]$ et $z_3,z_2]$ on montre qu'il existe $x$ et $y$ dans $[z_1,z_2]$ tel que $g(x)=c$, $g(y)$ et $x\leq y$ (il y a $z_3$ entre les deux).
On a supposé que $f\circ g$ était croissante sur $[z_1,z_2]$ donc $f(c)=f\circ g(x) \leq f\circ g(y) = f(d)$. Et ça c'est vrai pour tout $c$ et $d$ dans $[a,b]$ avec $c\leq d$ (sous les hypothèses choisies), donc $f$ est monotone (ici croissante) sur $[a,b]$.
Suite à ça, on a $f$ monotone sur tout intervalle fermé de $g(I)$, par la suite duquel, on déduit par l'absurde que $f$ est monotone sur $g(I)$.
Yes! je n'aurai pas à appeler maître qui que ce soit et je vais pouvoir me laver les cheveux (ils sentent les pâtes à cause d'une erreur judiciaire).
Bien joué!
- Soit $h:=x \in \R \mapsto 1+\sin \left( \max (-x,0)\right )$. Alors $h \circ h$ est constante (donc monotone) et $h$ n'est pas monotone.
Faut que j'arrête de répondre à ces exos de colle de prépa, en général ils sont résolus presque immédiatement après leur publication B-)-.