OIM
dans Analyse
Bonjour, je bloque sur cet exercice des olympiades internationales de mathématiques 1968,
Je voudrais montrer qu'une application $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ telle qu'il existe un réel $a$ tel que $ \forall x \in \mathbb{R} ,\ f(x+y)= \frac{1}{2} + \sqrt{ f(x) +f(x)^2} $ est périodique. Merci.
Je voudrais montrer qu'une application $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ telle qu'il existe un réel $a$ tel que $ \forall x \in \mathbb{R} ,\ f(x+y)= \frac{1}{2} + \sqrt{ f(x) +f(x)^2} $ est périodique. Merci.
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Réponses
Je vois bien $\dfrac12+\sqrt{f(x-a)+f(x-a)^2}$ mais le $f(x+a)$ se fait attendre ?
Il y a un problème avec cet énoncé car une telle fonction, si elle existe, ne peut pas être périodique.
Pour $a=0$, $f$ n'existe pas.
Pour $a\neq0$ : $f(na)\geq u_n$ avec $u_{n+1}=\dfrac12+\sqrt{u_n+u_n^2}$ et la suite $(u_n)$ diverge vers $+\infty$.
$\forall x \in \mathbb{R} ,\ f(x+a)= \frac{1}{2} + \sqrt{ f(x) -f(x)^2}$.
Une seconde question demandait un exemple d'une fonction non constante vérifiant cette propriété.
https://www.imo-official.org/problems.aspx
https://www.imo-official.org/year_info.aspx?year=1968&language=fr
On peut se ramener au cas $a=1$ et on montre alors que la suite $f(-n)$ est décroissante minorée, donc convergente d'où une contradiction.
Donc la restriction que $f$ est réelle interdit de choisir $f \ge 0$ comme on veut sur $[0,1[$ et de poser $$f(x+n)= \underbrace{g \circ \ldots \circ g}_n(f(x)), \qquad f(x-n)= \underbrace{g^{-1} \circ \ldots \circ g^{-1}}_n(f(x)), \qquad n\ge 1, x\in [0,1)$$
À partir de là ce n'est pas difficile de voir que hors du point fixe de $g$, quelque soit $f(x)$ pour $n$ assez grand alors $f(x-n)$ tombe sur $[0,1/2[$ ce qui implique que $f(x-n-1)$ est complexe.
Pour le problème de l'olympiade c'est $g(y) = 1/2+\sqrt{y-y^2}$ et le signe $-$ fait qu'on tombe aussi sur des réels négatifs donc des complexes.
N’existant pas, cette application est périodique ;-).
Pour être plus sérieux, je maintiens mon interprétation, je pense qu'on a mal recopié l'énoncé du problème 5 de la 10ème Olympiade internationale, tenue à Moscou (alors URSS) en 1968, qui est :Let $ f$ be a real-valued function defined for all real numbers $x$ such that, for some positive constant $a$ the equation $ \ f(x+a)= \frac{1}{2} + \sqrt{ f(x) -f(x)^2}$ holds for all $x$.
(a) Prove that the function $f$ is periodic (i. e., there exists a positive number $b$ such that $f(x + b) = f(x)$ for all $ x$).
(b) For $ a = 1$, give an example of a non-constant function with the required properties.Je n'ai pas le texte français officiel, mais je traduirais par :Soit $f$ une fonction numérique définie sur $\mathbb{R}$ tout entier, telle qu'il existe une constante réelle strictement positive $a$ telle que : $ f(x+a)= \frac{1}{2} + \sqrt{ f(x) -f(x)^2}$ pour tout $x \in \mathbb{R} $.
(a) Démontrer que la fonction $f$ est périodique (i. e., il existe un réel strictement positif $b$ tel que $f(x + b) = f(x)$ pour tout réel $ x$).
(b) pour $ a = 1$, donner un exemple d'une fonction non constante ayant cette propriété.Nous avions eu cet énoncé avec d'autres dans le petit livre bleu : D. Gerll, G. Girard, Les Olympiades Internationales de Mathématiques, Hachette, 1976 (réimprimé par Jacques Gabay). Un petit souvenir pour le précurseur Denis Gerll qui nous a quittés en 2009
http://www.bouzarea.org/gerll.htm
Bonne journée.
Fr. Ch.
Soient $a\in ]0,+\infty[$ et $f:\R \to \R$ une fonction telle que pour tout $x\in \R$, $f(x+a)=\frac{1}{2}+\sqrt{f(x) - f^2(x)}$.
Pour tout $t$ réel, on a $t-t^2=\frac{1}{4}-\left(t- \frac{1}{2}\right)^2$. Si on pose $g(x):= f(x)-\frac{1}{2}$, la condition $\forall x\in \R, f(x+a)=\frac{1}{2}+\sqrt{f(x) - f^2(x)}$ équivaut donc à $\forall x\in \R, g(x+a)= \sqrt{\frac{1}{4} - g^2(x)}$ ce qui entraîne pour tout $x$ $g(x+a)^2+g(x)^2=\frac{1}{4}$ d'une part et $0 \leq g(x) \leq \frac{1}{2}$ d'autre part. On a aussi (en remplaçant $x$ par $x+a$ dans l'égalité précédente) $g(x+2a)^2+g(x+a)^2=\frac{1}{4}$ ce qui entraîne $g(x+2a)^2=g(x)^2$ puis $g(x+2a)=g(x)$ pour tout $x$ par positivité de $g$. Donc $g$ est $2a$-périodique (et $f$ aussi).
Lorsque $a=1$ on peut prendre pour tout $x$, $g(x):=\frac{1}{2}\left | \sin \left ( \frac{\pi}{2} x \right ) \right |$ puis poser $f(x):=\frac{1}{2}+g(x)$.