Sous-sous-suite

topopot
topopot
dans Analyse
Bonjour,

Soient $(x_n)$ une suite d'éléments d'un espace topologique $E$ et $l\in E$.

Est-ce que $(x_n)$ converge vers $l$ si et seulement si de toute sous-suite $(x_{\varphi(n)})$ de $(x_n)$, il existe une sous-sous-suite $(x_{\varphi(\phi(n))})$ convergente vers $l$ ?

Le sens $(\implies)$ est facile et je pense avoir réussi à montrer le sens $(\impliedby)$, mais voyant toujours ce résultat dans $\R$, je me demande si je n'ai pas fait une erreur.

Si c'est faux je posterai ma tentative de démonstration pour déceler l'erreur.

Edit : pour préciser davantage l'énoncé.

Réponses

  • Dom
    Dom
    Dès l’instant où l’on parle de « toute sous-suite », il suffit de considérer la sous-suite triviale qui est la suite considérée elle-même.
    Ainsi, pour ma part c’est le sens <= le plus facile.
  • topopot
    topopot
    J'ai édité pour préciser davantage l'énoncé.

    Sauf erreur, j'ai l'impression que tu te trompes : pour le sens $(\impliedby)$, si tu considères la sous-suite triviale $(x_n)$, l'hypothèse te dit seulement qu'il existe $(x_{\phi(n)})$ qui converge vers $l$, mais on a pas forcément $(x_n)$ convergente vers $l$.

    J'ai pour ma part démontré $(\impliedby)$ par contraposée.

    Quant au sens $(\implies)$, on utilise simplement qu'une sous-suite d'une suite convergente est convergente.
  • Poirot
    Poirot
    @Dom : tu as un problème de quantification, tout ce que tu peux dire c'est que de la suite de base, tu peux extraire une sous-suite convergente.

    @topopot : il me semble que c'est faux dans un espace topologique général, mais vrai dans un espace métrique. Dans le cas métrique, c'est facile par contraposée : $(x_n)_n$ ne converge pas vers $l$, donc il existe $\varepsilon > 0$ tel que pour tout $n \geq 0$, il existe $k \geq n$ tel que $|x_n-l| > \varepsilon$. Il n'y a plus qu'à considérer une famille infinie de tels indices $k$, et la sous-suite en question ne s'approche pas de $l$ à plus de $\varepsilon$.

    EDIT : en fait c'est bête, le raisonnement s'adapte facilement au cas non métrique.
  • Dom
    Dom
    Tu as raison, j’avais mal lu.

    Édit : ha ! Poirot, c’est exactement ça.
    J’ai transformé « pour tout / il existe » en « pour tout / pour tout ».
  • topopot
    topopot
    @Poirot, le raisonnement que j'ai fait est en effet pareil.
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