Somme de cosinus

jeantonyk · September 2019

Bonsoir, quelqu’un aurait-il un indice pour commencer à montrer que pour $f:\R\to\R$ définie par $\displaystyle f(x)=\sum_{i=1}^n \frac{\cos(a_{i} +x)}{2^{i-1}}$ si on a $f(x)=f(y)=0$ alors $x-y = k\pi$ , $k \in \mathbb{Z}$
J’ai commencé par écrire $f(x)-f(y)=0$ et après avec des formules trigo je voulais essayer de factoriser pour avoir des trucs du genre $\sin(x-y)$

[Il n'est pas correct de modifier le message initial de la discussion dès lors que quelqu'un s'est donné la peine d'y répondre. Je le rétablis en le barrant. AD]
Comment calculer $ \sum_{k=1, n} \cos(kn)$.

Frédéric Bosio · September 2019

Il semble qu'une telle fonction soit une combinaison linéaire de sinus et de cosinus, et donc, à un décalage de la variable près, un multiple du sinus et on conclut alors facilement.

jeantonyk · September 2019

C’est-à-dire décaler la variable comme ça ? $~\cos(a_{i} + x + \frac{\pi}{2} )$

Fin de partie · September 2019

Sauf erreur, cette fonction vérifie une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants.

jeantonyk · September 2019

J’aimerai bien le montrer avec des outils assez simples, quasiment niveau terminale...

Fin de partie · September 2019

Il faut donc certainement utiliser la formule qui transforme une différence de cosinus :
$\cos(a_i+x)-\cos(a_i+y)=-2\sin\left(a_i+\frac{x+y}{2}\right)\sin\left(\frac{x-y}{2}\right)$

Ce qui fait qu'on doit pouvoir, sauf erreur, factoriser $\sin\left(\frac{x-y}{2}\right)$.

On a $f(x)-f(y)=\sin\left(\frac{x-y}{2}\right)G(x,y)$

PS:
Je crains que cette factorisation soit insuffisante

jeantonyk · September 2019

Oui j’étais déjà tombé sur cette factorisation, mais c’est en effet insuffisant...

Frédéric Bosio · September 2019

Peut-être le mieux est-il donc de l'écrire explicitement sous la forme $\lambda \sin (x + \mu )$, avec les $\lambda $ et $\mu $ adéquats.

Fin de partie · September 2019

On peut aussi montrer aisément que si $f(x_0)=0$ alors $f(x_0+k\pi)=0$. ($k$ un entier)

$\cos(a_i+x_0+\pi)=\cos(a_i+x_0)\cos(\pi)-\sin(a_i+x_0)\sin(\pi)=-\cos(a_i+x_0)$

On a aussi:
$\cos(a_i+x_0+\delta)=\cos(a_i+x_0)\cos(\delta)-\sin(a_i+x_0)\sin(\delta)=\cos(a_i+x_0)\cos(\delta)-\cos\left(a_i+x_0-\frac{\pi}{2}\right)\sin(\delta)$

Donc, sauf erreur, si $f(x_0)=0$ alors pour que $f(x_0+\delta)=0$ il faut et il suffit que $\sin(\delta)f\left(x_0-\frac{\pi}{2}\right)=0$

reuns · September 2019

à un moment il faut bien utiliser que $~\displaystyle r e^{it}=\sum_{k=1}^n \frac{e^{ia_k}}{2^k}~$ pour pouvoir dire que $$
\sum_{k=1}^n \frac{\cos(a_k +x)}{2^k} = \Re\Big(\sum_{k=1}^n \frac{e^{ia_k} e^{ix}}{2^k}\Big)= r \cos(t+x)$$

Fin de partie · September 2019

Est-ce que la propriété à démontrer est exacte?

jandri · September 2019

En utilisant la formule $\cos(a+b)=...$ on obtient $f(x)=\alpha \cos(x)-\beta \sin(x)$.

Il faut montrer qu'on n'a pas $\alpha=\beta=0$ (c'est facile avec les nombres complexes).

On peut alors écrire $f(x)=\gamma\sin(x+\phi)$ avec $\gamma$ non nul, le résultat s'en déduit immédiatement.

P. · September 2019

Menfin? $f(x)=A\cos x+B\sin x ….$

jeantonyk · September 2019

Jandri pourquoi est-ce qu’on peut alors écrire $f(x)= \gamma \sin(x+ \phi)$ ?

YvesM · September 2019

Bonjour,

De façon immédiate, $f(x) = A \cos x - B \sin x$ puisqu'on connaît l'identité $\cos(a+x) = \cos a \cos x - \sin a \sin x$. Si $B=0$ ou $A=0$, le résultat est évident. Si $B \neq 0$ et $A \neq 0$, alors $f(x)=f(y)=0$ implique que $\tan x=A/B=\tan y$ et donc le résultat. Non ?

jandri · September 2019

On pose $\gamma=\sqrt{\alpha^2+\beta^2}$. Il existe alors $\phi$ tel que $\sin(\phi)=\dfrac{\alpha}{\gamma}$ et $\cos(\phi)=-\dfrac{\beta}{\gamma}$.

jeantonyk · September 2019

Ce n’est pas vraiment clair

Fin de partie · September 2019

Pour le moment je suis convaincu que la condition donnée est suffisante mais pas qu'elle soit nécessaire.

YvesM · September 2019

Bonjour,

@Fin de partie, relis mon message. Quelle partie n'est pas suffisamment claire pour établir la condition nécessaire ?

http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1855672,1855892#msg-1855892