Irrationalité de $\sqrt{3}$
Bonsoir je bloque sur la preuve pour montrer que $\sqrt{3}$ est irrationnel.
Je raisonne par l’absurde , je choisis $p$ et $q$ des entiers avec $q \neq 0$.
Je pose $\sqrt{3}=\frac{p}{q}$. J’arrive bien évidemment à $p^{2}=3q^{2}$,mais là plus rien, il est vrai que $p^{2}$ est multiple de $3$ mais bon qu’en est-il de $p$ ? :-S.
J’ai besoin d’indications.
Merci d’avance pour vos réponses.
Je raisonne par l’absurde , je choisis $p$ et $q$ des entiers avec $q \neq 0$.
Je pose $\sqrt{3}=\frac{p}{q}$. J’arrive bien évidemment à $p^{2}=3q^{2}$,mais là plus rien, il est vrai que $p^{2}$ est multiple de $3$ mais bon qu’en est-il de $p$ ? :-S.
J’ai besoin d’indications.
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Réponses
Merci @Math Coss.
Supposons que $\sqrt{3}$ est rationnel. Il existe donc des entiers $p$ et $q\neq 0$ tel que $\sqrt{3}=\frac{p}{q}$
on a $p^{2}=3q^{2}$ et comme $3|p^{2}$ comme $3$ est premier on a aussi $3|p$. Alors il existe un entier $k$ tel que $p=3k$.
$p^{2}=9k^{2}$ et comme $p^{2}=3q^{2}$, on a donc $9k^{2}=3q^{2}$. On en déduit que $q^{2}=3k^{2}$.
Ainsi $q$ est aussi divisible par $3$
on a donc $q=3k^{'}$
Ainsi $p \wedge q \neq 1$ car $p$ et $q$ ont un facteur premier en commun.
Soit $n\in\mathbb{N}$.
$\sqrt n$ est un rationnel $\iff$ ?
j'ai répondu à la question :-D.
Merci @gebrane
si $\sqrt{n}=\frac{p}{q}$ alors $q^{2}n=p^{2}$ et donc $q^{2}|p^{2}=p^{2}*1$.
or $q^{2} \wedge p^{2}=1$ donc $q^{2}|1$ donc $q^{2}=1$ d'où $q=1$
l'autre sens est évident 8-)
Les deux rédactions pour $\sqrt{3}$ et $\sqrt{n}$ sont fausses.
ne s'applique pas si tu remplaces 3 par un n ( mème carré parfait), il faut un petit chwiya. Par exemple si tu as $p^{2}=81q^{2}$ il est faux de conclure que $81|p$, tu peux conclure seulement $9|p$
Soit $n\in\N$ tel que $\sqrt{n}\notin\N$. Supposons que $\sqrt{n}\in\Q$ et écrivons $\sqrt{n}=\frac{p}{q}$ en prenant $q$ minimal dans $\N^*$ (ce qui revient à dire que $\frac{p}{q}$ est une fraction irréductible). Comme $\sqrt{n}\notin\N$, il existe $m\in\N$ tel que $m < \sqrt{n} < m+1$. Alors, $mq < p < mq+q$ donc $0 < p-mq < q$. Mais, par ailleurs, $p^2=nq^2$ donc $p^2-mpq=nq^2-mpq$ i.e. $p(p-mq)=q(nq-mp)$ et ainsi $\sqrt{n}=\frac{p}{q}=\frac{nq-mp}{p-mq}$. Ceci contredit la minimalité de $q$ donc on conclut que $\sqrt{n}\notin\Q$.
Je ne vous crois pas :-D, vous dites l’unicité? Pour moi l'existence de la décomposition suffit pour une preuve
on a $p^{2}=3q^{2}$ et comme $3|p^{2}$ comme $3$ est premier on a aussi $3|p$. Alors il existe un entier $k$ tel que $p=3k$.
$p^{2}=9k^{2}$ et comme $p^{2}=3q^{2}$, on a donc $9k^{2}=3q^{2}$. On en déduit que $q^{2}=3k^{2}$.
Ainsi $q$ est aussi divisible(par un raisonnement analogue à celui de $p$) par $3$
on a donc $q=3k^{'}$ avec $k^{'} \in \mathbb{Z}$
Ainsi $p \wedge q \neq 1$ car $p$ et $q$ ont un facteur premier en commun.
Merci à tous de me rappeler que je dois être toujours rigoureux quand j'apprends les mathématiques.
Quand tu dis que $3|p$, il est mieux de citer le lemme utilisé.
Soit $p$ un nombre premier et $a,b \in \mathbb{Z}$
si $p|ab$ alors $p|a$ ou $p|b$
Cordialement.
La preuve la plus courte et la plus exotique.
Si $\sqrt n =\frac pq$ avec $p$ et $q$ premiers entre eux, alors $n=\frac {p^2}{q^2}$ et puisque $p$ et $q$ sont premiers entre eux, alors $p^2$ et $q^2$ sont aussi premiers entre eux, mais $n$ est un entier donc $q^2=1$ donc $n=p^2$ donc $n$ est un carré :-D
La "preuve" que tu avais postée précédemment est, elle, en revanche totalement fausse !
Exotique dans le sens: elle cache l'essentiel
Pourquoi l'autre preuve est fausse? Pointe la faille!
@gebrane : dans ton texte, il faudrait justifier que $m$ est sans facteur carré. De plus, l'implication : $m=p_1 p_2 ... p_k| a^2$ donc $p_i | a^2$ pour tout $i=1,..,k$ puis $p_i |a$ puis enfin $p_i^2|a$ est étonnante.
$10=2.5| 100=10^2$ donc $2|10^2$ puis $2|10$ puis enfin $4=2^2|10$ : étonnant, non ?
pour montrer (a, b)=1 => (a2, b2)=1, moi j'ai juste besoin de la décomposition en nombres premiers. Donc je décompose a et b et puisque (a, b)=1 , alors les deux décomposition n'ont pas de facteurs communs. J’élève au carré et on voit que les décompositions de a² et b² en nombres premiers n'ont pas de facteurs communs.CQFD
Je ne comprends pas pourquoi vous insister tous sur l'unicité. montre moi la faille j'ai besoin seulement de l'existence d'une décomposition en nombres premiers. Donc je commence ma preuve avec , soit une décomposition en nombres premiers de a et b et tu connais la suite http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1856394,1856846#msg-1856846
\begin{align}\alpha=\sqrt{3}-1=\frac{2}{\sqrt{3}+1}>0\\
\alpha-1=\sqrt{3}-2=\frac{-1}{\sqrt{3}+2}<0
\end{align}
Fait 2) On définit pour tout $n\geq 0$ entier la suite $(u_n)$ par $u_n=\alpha^n$
alors $\lim u_n=0$.
Fait 3) Il existe pour tout $n\geq 1$, $a_n,b_n$ entiers relatifs non nuls tels que $u_n=a_n+b_n\sqrt{3}$.
Fait 4) si $\beta=\dfrac{u}{v}$ avec $u,v$ entiers non nuls alors $\left |\beta+\frac{p}{q}\right|>\dfrac{C_{\beta}}{|q|}$ avec $p,q$ des entiers relatifs non nuls, $C_{\beta}$ une constante qui ne dépend que de $\beta$, et pourvu que $\beta \neq -\dfrac{p}{q}$
On a donc que pour tout entier $n\geq 1$, $\dfrac{u_n}{b_n}=\dfrac{a_n}{b_n}+\sqrt{3}$
$\sqrt{3}$ ne peut pas donc être un rationnel. (la suite dans le membre de gauche tend vers $0$ tandis que le membre de droite est minoré par une constante qui ne dépend que de $\sqrt{3}$ si $\sqrt{3}$ était un rationnel)
PS: Il faudra que je retravaille ce truc, je pense qu'il y a des trucs qui sont trop flous voire faux. :-D
@Gebrane : d'une part, il y a une coquille pointée par YvesM (il manque un carré dans "so $p_i^2$ divides $a$") mais, ça ce n'est pas très grave. D'autre part, le "raisonnement" s'appuie sur le fait que si $p_1$, ..., $p_n$ sont des nombres premiers tels que $p_i^2$ divise $a^2$ alors le produit des $p_i^2$ divise $a^2$ ce qui est faux si les $p_i$ ne sont pas distincts !! Par exemple, $12=2\times2\times3$ divise $36$ mais $12^2$ ne divise pas $36$! Enfin, la "définition" des nombres premiers proposée à la fin du post est aberrante : avec celle-ci, $1$ est premier...
Par ailleurs, tu sembles oublier que pour parler de LA décomposition en produit de facteurs premiers, il faut savoir que celle-ci est unique !
Je ne travaille pas beaucoup l'arithmétique, je dois me replonger dedans pour garder un niveau raisonnable.
Cela dit, la preuve de Zermelo de l'unicité ne requiert aucun lemme.
Un critère d'irrationalité ressort de la démonstration de Fdp:
si $ a_n+b_nr $ est non nul pour tout $n$ et tend vers 0 où $a_n$ et $b_n$ sont des entiers relatifs
alors $r$ est irrationnel .
si $ N$ n'est pas un carré parfait alors $( \sqrt N -E(\sqrt N) )^n$ tend vers 0 et peut s'ecrire sous la forme
$ a_n+b_n \sqrt N $ pour tout $n$ et tend vers 0 où $a_n$ et $b_n$ sont des entiers relatifs
Merci d’avance.
En fait, puisqu'on a : $\left |\beta+\dfrac{p}{q}\right|>\dfrac{C_{\beta}}{|q|}$ on a aussi $ |q| \left|\beta+\dfrac{p}{q}\right|>C_{\beta}$
On a : $u_n=b_n\times \dfrac{u_n}{b_n}=b_n\left(\dfrac{a_n}{b_n}+\sqrt{3}\right)$
Ce qui fait qu'en prenant en valeurs absolues
$\displaystyle \left |u_n\right |>C_{\beta}.$ Cette constante ne dépend pas de $n$.
Sans l’hypothèse $pgcd(p,q)=1$, il est correcte de remarquer que $3$ divise indéfiniment $p$.
Désolé, je ne comprends pas ton objection car elle signifie que ce que j'ai écrit ci-dessus est faux.
J'ai donné une méthode et, par cette méthode en tout cas, ce que tu proposes revient à diviser par $b_n$ puis multiplier par $b_n$, et je pointais simplement que ce n'était pas utile.
Maintenant, peut-être as-tu une autre façon de montrer l'existence de $C_{\beta}$.
Je le montre comme toi.
Soit $\beta=\dfrac{a}{b}$ avec $a,b$ entiers non nuls. Soient $p,q$ deux entiers non nuls.
$\left|\beta+\dfrac{p}{q}\right|=\left| \dfrac{aq+bp}{bq}\right|$
Si $\beta\neq -\dfrac{p}{q}$ alors $\left| \dfrac{aq+bp}{bq}\right|\geq \dfrac{1}{\left|bq\right|}$
Et on peut prendre $C_{\beta}=\dfrac{1}{\left|b\right|}$.
On a bien que pour $\beta$ rationnel et pour $p,q$ entiers naturels non nuls tels que $\beta\neq -\dfrac{p}{q}$
$\left|\beta+\dfrac{p}{q}\right|\geq \dfrac{C_{\beta}}{\left|q\right|}$