Majoration de type phase stationnaire ?
Bonjour amis analystes,
Est-ce que l'un d'entre vous pourrait m'aider à montrer qu'il existe une constante $C>0$ telle que pour $t \in \mathbb{R}^2$ on ait :
$$\left \vert \int_{X \in \mathbb{B}^2} e^{iX \cdot t}dX\right\vert \leq \frac{C}{|t|^{3/2}},$$
avec $B_2=\{x \in \mathbb{R}^2, |x|^2 \leq 1\}$ la boule (disque) unité standard et $|\cdot|$ qui désigne la norme euclidienne standard.
En fait la majoration triviale est trop mauvaise pour $t$ grand, et j'imagine qu'il y a un truc de phase stationnaire derrière mais je n'arrive rien à montrer. La phase $\phi (X)=|X|$ semble trop irrégulière pour appliquer des résultats standards.
Merci d'avance !
Est-ce que l'un d'entre vous pourrait m'aider à montrer qu'il existe une constante $C>0$ telle que pour $t \in \mathbb{R}^2$ on ait :
$$\left \vert \int_{X \in \mathbb{B}^2} e^{iX \cdot t}dX\right\vert \leq \frac{C}{|t|^{3/2}},$$
avec $B_2=\{x \in \mathbb{R}^2, |x|^2 \leq 1\}$ la boule (disque) unité standard et $|\cdot|$ qui désigne la norme euclidienne standard.
En fait la majoration triviale est trop mauvaise pour $t$ grand, et j'imagine qu'il y a un truc de phase stationnaire derrière mais je n'arrive rien à montrer. La phase $\phi (X)=|X|$ semble trop irrégulière pour appliquer des résultats standards.
Merci d'avance !
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Réponses
Tu peux te ramener facilement à la dimension 1 avec l'invariance par translation :
$$
\int_{X \in \mathbb B} e^{it\cdot X}\,dX = 2\int_{-1}^1 e^{i |t| x} \sqrt{1-x^2}\,dx,
$$
et puis hop !
Du coup une fois ramené en dimension 1 on ne peut pas trop non plus faire de la phase stationnaire parce que la phase $\phi(x)=x$ a un point critique mais dégénéré ... cela dit c'est sûrement un bon début. C'est ce que tu voulais faire ?
$$
-\frac{2\sqrt{2\pi}\cos(t + \pi/4)}{|t|^{3/2}} + O\left(\frac{1}{|t|^{5/2}}\right), \qquad |t| \to +\infty.
$$
Je vais y réfléchir de mon côté !
> gebrane j'entends bien, mais comment montrer que $J_1(s)=O(s^{1/2})$ au voisinage de l'infini ?
Pourquoi cette insistance de redémontrer des choses connues. Il suffit d'avoir une référence bibliographique même si on ne comprends pas les détails de la démonstration, par exemple proposition 2 https://webusers.imj-prg.fr/~bernard.maurey/agreg/ag034/ag034_a2.pdf mais un pdf n'est pas une référence:-D
où $h''$ est $L^1$ donc $\hat{h}(u)= \frac{\widehat{h''}(u)}{(iu)^2}\le u^{-2} \|h''\|_{L^1}$
Ensuite $$\int_0^\infty x^{1/2} e^{-sx}dx = s^{-3/2} \Gamma(3/2)$$
d'abord pour $s >0$ puis par prolongement analytique pour $\Re(s)> 0$ et par continuité aussi pour $s= i|t|$.
Peux-tu rendre publique ce que tu as trouvé, Cela m’intéresse
Merci d'avance
C'est marrant sûrement un lecteur/trice du forum. Avec presque la même preuve que ce que je donne. Visiblement c'est ce que celui qui a répondu appelle faire la phase stationnaire !