Bonjour je souhaite montrer cette relation $$
\int_{0}^{\pi}e^{e^{\cos x}\cos(\sin(x))}\cos(\sin(\sin(x))e^{\cos x})dx=e\pi,$$ mais je l'obtiens par l'analyse complexe je suis à la recherche d'une preuve élémentaire quelqu'un a-t-il une approche ?
Bonjour
je confirme ton résultat ; je te propose une démonstration basée sur le développement en série de la fonction $\exp(e^x - 1)$ soit :
$\exp(e^x - 1) = 1 + B_1\frac{x}{1!} + B_2\frac{x^2}{2!} + B_3\frac{x^3}{n!} +\cdots+ B_n\frac{x^n}{n!} + \ldots$
les nombres $B_n$ sont les nombres de Bell (tous entiers) qui obéissent à une relation de récurrence simple à partir de $B_1 = 1$, on trouve ainsi $B_2 = 2,~ B_3 = 5,~ B_4 = 15,~ B_5 = 52$ etc.
lorsque $x$ devient $e^{ix}$ dans le développement donné plus haut il vient :
$\exp(\exp(e^{ix})) = e [1 + B_1\frac{e^{ix}}{1!} + B_2\frac{e^{2ix}}{2!} + \cdots + B_n\frac{e^{nix}}{n!}+\ldots].$ La partie réelle du second membre est donc $f(x) = e [1 + B_1\frac{\cos x}{1!} + B_2\frac{\cos2x}{2!} +\cdots+ B_n\frac{\cos nx}{n!} + \ldots]$
dont une primitive sera $F(x) = e [x - B_1\frac{\sin x}{1!} - B_2\frac{\sin2x}{2.2!} -\cdots- B_n\frac{sinnx}{n.n!} - \ldots]$.
Montrons maintenant que la partie réelle du premier membre correspond à ta fonction à intégrer
soit $C = \exp[e^x\cos(\sin x)]\cos[e^{\cos x}\sin(\sin x)]$ et $S = \exp[e^{\cos x}\cos(\sin x)]\sin[e^{\cos x}\sin(\sin x)]$
et donc \begin{align*}
C + iS &= \exp[e^{\cos x}\cos(\sin x)]\exp[e^{\cos x}i\sin(\sin x)] \\
&= \exp[e^{\cos x}e^{i\sin x}] = \exp[\exp[e^{ix}]].
\end{align*} Si tu calcules ta primitive déterminée par son développement en sinus sur l'intervalle 0 à $\pi$ il vient le résultat $e\pi$ puisque tous les sinus s'annulent sur cet intervalle. Cordialement.
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je confirme ton résultat ; je te propose une démonstration basée sur le développement en série de la fonction $\exp(e^x - 1)$ soit :
$\exp(e^x - 1) = 1 + B_1\frac{x}{1!} + B_2\frac{x^2}{2!} + B_3\frac{x^3}{n!} +\cdots+ B_n\frac{x^n}{n!} + \ldots$
les nombres $B_n$ sont les nombres de Bell (tous entiers) qui obéissent à une relation de récurrence simple à partir de $B_1 = 1$, on trouve ainsi $B_2 = 2,~ B_3 = 5,~ B_4 = 15,~ B_5 = 52$ etc.
lorsque $x$ devient $e^{ix}$ dans le développement donné plus haut il vient :
$\exp(\exp(e^{ix})) = e [1 + B_1\frac{e^{ix}}{1!} + B_2\frac{e^{2ix}}{2!} + \cdots + B_n\frac{e^{nix}}{n!}+\ldots].$
La partie réelle du second membre est donc $f(x) = e [1 + B_1\frac{\cos x}{1!} + B_2\frac{\cos2x}{2!} +\cdots+ B_n\frac{\cos nx}{n!} + \ldots]$
dont une primitive sera $F(x) = e [x - B_1\frac{\sin x}{1!} - B_2\frac{\sin2x}{2.2!} -\cdots- B_n\frac{sinnx}{n.n!} - \ldots]$.
Montrons maintenant que la partie réelle du premier membre correspond à ta fonction à intégrer
soit $C = \exp[e^x\cos(\sin x)]\cos[e^{\cos x}\sin(\sin x)]$ et $S = \exp[e^{\cos x}\cos(\sin x)]\sin[e^{\cos x}\sin(\sin x)]$
et donc \begin{align*}
C + iS &= \exp[e^{\cos x}\cos(\sin x)]\exp[e^{\cos x}i\sin(\sin x)] \\
&= \exp[e^{\cos x}e^{i\sin x}] = \exp[\exp[e^{ix}]].
\end{align*} Si tu calcules ta primitive déterminée par son développement en sinus sur l'intervalle 0 à $\pi$ il vient le résultat $e\pi$ puisque tous les sinus s'annulent sur cet intervalle.
Cordialement.