Homogénéisation

C'est incompréhensible. Pourquoi on voudrait résoudre l'équation en $u_\epsilon$ :

$-div(A(x/\epsilon) \nabla u_\epsilon) = f$ sur $\Omega$ et $u_\epsilon|_{\partial \Omega} = 0$

pour tout $\epsilon \to 0$ avec $\Omega=\bigcup_{k \in \Z^2} E+k$ un domaine périodique où $E$ est un ouvert de $(-1,1)^2$ ?

Qu'est-ce qui est incompréhensible ?

Il y a plein de problèmes en physique où il y a de la périodicité. Au hasard, parce que c'est un sujet à la mode, on peut citer les métamatériaux en éléctromagnétique/optique. On peut citer également tout ce qui est structure cristalline.

Le soucis est que bien souvent la période est très petite devant les autres grandeurs caractéristiques du domaine, donc c'est extrêmement coûteux de résoudre numériquement le problème (en gros il faut mailler le domaine à l'échelle de la période) voire impossible. On rencontre le même problème avec Navier-Stokes où il faut mailler à l'échelle des plus petites structures tourbillonnaires...

La base de la méthode de l'homogénéisation vise à remplacer un milieu périodique "compliqué" par un milieu homogène "équivalent" sensé retranscrire au mieux les propriétés du milieu périodique d'origine pour lequel les calculs sont bien moins coûteux.

Mathématiquement, on se retrouve avec des EDPs avec des coefficients périodiques et/ou une géométrie périodique, en notant $\varepsilon$ cette période, on regarde ce qui se passe quand $\varepsilon \to 0$. On essaye de voir si la suite des solutions converge et en quel sens, quelle est le problème vérifié par la limite, établir des erreurs de convergence, etc.